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海森堡
圖片來自獨立評論

海森堡繪景(Heisenberg picture)是量子力學的一種表述,因物理學者维尔纳·海森堡而命名。在海森堡繪景裏,對應於可觀察量[1]算符會隨著時間流易而演化,而描述量子系統的態向量則與時間無關。使用海森堡繪景,可以很容易地觀察到量子系統與經典系統之間的動力學關係。

海森堡繪景與薛丁格繪景狄拉克繪景不同。在薛丁格繪景裏,描述量子系統的態向量隨著時間流易而演化,而像位置動量一類的對應於可觀察量的算符則不會隨著時間流易而演化。在薛丁格繪景裏,假若勢能與時間有關,V=V(t),則哈密頓算符H=\frac{P^2}{2m}+V(t)也與時間有關。在狄拉克繪景裏,態向量與對應於可觀察量的算符都會隨著時間流易而演化。

這三種繪景殊途同歸,所獲得的結果完全一致。這是必然的,因為它們都是在表達同樣的物理現象。

概述

為了便利分析,位於下標的符號{H} 、{S}分別標記海森堡繪景、薛丁格繪景。

在量子力學的海森堡繪景裏,態向量\psi \rang_{H} 不含時,而可觀察量的算符A_{H}則含時,並且滿足「海森堡運動方程式」:

\frac{t}A_{H}={1 \over i\hbar}[A_{H},\, H];

其中,\hbar是約化普朗克常數,H是哈密頓量,[ A_{H},\, H]是A_{H}與H的對易算符

從某種角度來看,海森堡繪景比薛丁格繪景顯得更為自然,更具有基礎性,因為,經典力學分析物體運動所使用的物理量是可觀察量,例如,位置、動量等等,而海森堡繪景專注的就是這些可觀察量隨著時間流易的演化。進一步來看,海森堡繪景表述的量子力學與經典力學的相似可以很容易的觀察到:只要將對易算符改為帕松括號,海森堡方程式立刻就變成了哈密頓力學裏的運動方程式,其形式表示為

\frac{\partial}{t}A=[A,\, H]_{Poisson};

其中,[\ ,\,\ ]_{Poisson}是帕松括號

通過狄拉克量子化條件|canonical quantization,可以從哈密頓力學的運動方程式得到海森堡運動方程式:

[\ ,\,\ ]_{Poisson}\ \to\ \frac{[\ ,\, \ ]}{i\hbar} 。

史東-馮諾伊曼理論|Stone-von Neumann theorem證明海森堡繪景與薛丁格繪景是等價的。

參考文獻