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布朗运动

布朗运动
图片来自华人百科

布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动。布朗运动过程是一种正态分布独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程[1]鞅过程伊藤过程

它是在西元1827年英国植物学家罗伯特•布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时,发现微粒会呈现不规则状的运动,因而称它布朗运动。布朗运动也能测量原子的大小,因为就是由中的水分子对微粒的碰撞产生的,而不规则的碰撞越明显,就是原子越大,因此根据布朗运动,定义原子的直径为10-8厘米。

目录

定义

自1860年以来,许多科学家都在研究此种现象,后来发现布朗运动有下列的主要特性:

  1. 粒子的运动由平移转移所构成,显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。
  2. 粒子之移动显然互不相关,甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。
  3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时,粒子的运动越活泼。
  4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。
  5. 粒子的运动永不停止。

对于布朗运动之误解

值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。

一般而言,花粉之直径分布于30~50μm、最小亦有10μm之谱,相较之下,水分子直径约0.3nm(非球形,故依部位而有些许差异。),略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动,事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特•布朗的手稿中,“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味著“自花粉粒中迸出之微粒子”,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。

日本,以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞,岩波书店‘岩波理科辞典’花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论(上)’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’,甚至日本的理科课本等等,皆呈现错误之叙述。

直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中,点出此误谬之前,鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’(1970年)时,实际摄影漂浮在水中之花粉,却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月,以“外行人与专家之间”为题,解说有关布朗运动之误会。

爱因斯坦的理论

在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分:第一部分定义布朗粒子扩散方程式,其中的扩散系数与布朗粒子平均平方位移相关,而第二部分连结扩散系数与可测量的物理量。以此方式,爱因斯坦可决定原子的大小,一莫耳有多少原子,或气体的克分子量。根据阿伏伽德罗定律,所有理想气体在标准温度和压力下体积为22.414升,其中包含的原子的数目被称为“阿伏伽德罗常数”。由气体的莫耳质量除以阿伏伽德罗常数等同原子量。

爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动。

他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 (x) 视作一个随机值(Delta 或者 x,并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置)并给出概率密度函数 varphi(\Delta)。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。

性质

  • 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何scriptstyle \omega\in \Omega,轨道scriptstyle t\mapsto B_t(\omega)为一个连续但是零可微的函数。
  • 协方差scriptstyle \mathbb E[B_s B_t]=min (s,t)。
  • 布朗运动具有强马氏性: 对于停时T,取条件scriptstyle [T < \infty ],过程scriptstyle (B^T_t)_{t\geq 0}:=(B_{T+t}-B_T)_{t\geq 0}为一个独立于scriptstyle (B_{s})_{0 \leq s<T}的布朗运动。
  • 它的Fourier变换特征函数为scriptstyle \mathbb E\left[ e^{i u B_t} \right] = e^{-\frac{tu^2}{2}}。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。
  • 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s > 0,scriptstyle (B_{t+s}-B_s)_{t\geq 0}是一个独立于scriptstyle (B_u)_{0\leq u \leq s}的布朗运动。
  • -B是一个布朗运动。
  • (稳定性) 对于c > 0,scriptstyle \left(cB_{\frac{t}{c^2}}\right)_{t\geq 0}是布朗运动。
  • (时间可逆性)scriptstyle \left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t > 0}在t=0之外是布朗运动。
  • 常返性)只有1维和2维布朗运动是常返的:
如果scriptstyle d\in \{1,2\},集合<math>\scriptstyle\{t\geq 0, B_t=x\}不是有界的,对于任何scriptstyle x\in \mathbb R^d,
如果scriptstyle d\geq 3, \,\,\,\lim_{t\rightarrow \infty} ||B_t||=+\infty(几乎处处)。
  • (反射原理)
mathbb P[\sup_{0\leq s\leq t}B_s \geq a]=2 \mathbb P[B_t \geq a] = \mathbb P[|B_t| \geq a].

布朗运动的数学构造

利用Kolmogorov一致性定理

设(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}为L^2({\mathbb{R}}_+)空间中一列实值函数。设:

forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_+\text{, }s(u,v)={\langle f_u,f_v \rangle}_{L^2({\mathbb{R}}_+)}=\int_{\mathbb{R}_+} f_u(x)f_v(x)dx

这列函数满足:

forall k\in\mathbb{N}^*,任意的t_1, ..., t_k\in\mathbb{R}_+,矩阵left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}为对称半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理,我们可以构造高斯过程{Y_t\}_{t\in\mathbb{R}_+},它的均值m任意, 协方差为上面定义的s。

当(f_t)_{t\in{\mathbb{R}}_+}=\left(\sqrt{c}.1\!\!1_{[0,t]} \right)_{t\in\mathbb{R}_+},c>0为不依赖于t的常数,1\!\!1_{[0,t]}为[0,t]上的示性函数。则:

s(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds=\text{c.min}(u,v)

在这个情况下,矩阵left(s(t_i,t_j)\right)_{1\leq i,j\leq k}是对称且正定的。

我们称一个高斯过程为 布朗运动当且仅当均值为0,协方差为s。c = Var(B_1),当c = 1时, 称之为 标准的布朗运动.

利用随机过程

Donsker定理(1951)证明了逐渐归一化的随机游走弱收敛于布朗运动。

left( \frac{1}{\sigma\sqrt{n}} \left(\sum_{k=1}^{[nt]} U_k +(nt - [nt])U_{[nt]+1} \right) \right)_{0\leq t\leq 1} \underset{n\rightarrow \infty}{\Longrightarrow} (B_t)_{0\leq t\leq 1}

其中(Un, n ≥ 1) 独立同分布, 均值为0,方差为σ的随机变量序列。

利用傅立叶级数

设2列独立的正态scriptstyle \mathcal N(0,1)随机变量序列scriptstyle (N_k,k\in \mathbb N)和scriptstyle (N'_k,k\in \mathbb N)。定义scriptstyle (B_t)_{t\geq0}:

B_t := t N_0 + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sqrt{2}}{2\pi k} \left(N_k \cos(2\pi kt -1)+N_k'\sin(2\pi kt)\right)

为布朗运动。

参考文献