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求真百科

正八面体

正八面体

中文名: 正八面体

外文名: regular octahedron

顶点数: 6

边 数: 12

面 数: 8

应用学科: 几何学

正八面体,一种正多面体,也是一种正轴体,面为8个正三角形,八面体的对角面为正方形,共三个,并且两两垂直。交线同样两两垂直。二面角为109°28′16.3″。

正八面体每四条棱可以成为一个正方形,共有三个独立的正方形。[1]

顶点数目:6

边数目:12

面数目:8

当边长为a时:

表面积:

体积:

外接球半径:

(外接球即过正八面体各顶点的球)

内切球半径:

(内切球即与正八面体各面相切的球)

中交球半径:

(中交球即过正八面体各边中点的球)

目录

基本信息

首先,为什么棱长相等的正八面体体积是正四面体体积的4倍?要怎么证明呢?直接用公式计算证明?甚至动用定积分来计算?不不不,其实,这个证明并不难,只需一点点想象力,也许就可以让只学过学过正方体和三棱锥体积公式的小学生弄明白。

正八面体是五种正多面体的第三种,是三维的正轴体,有6个顶点、12条边和8个面。它由八个等边三角形构成,也可以看做上、下两个正方椎体黏合而成,每个正方椎体由四个三角形与一个正方形组成。正八面体的对偶多面体是立方体。

正八面体内嵌在立方体中时,6个顶点分别位于立方体的面心:

正八面体体积 : 立方体体积=1 : 6

坐标系

以棱长为的正八面体的几何中心作为原点,将正八面体的对角线作为x,y,z轴建立三维直角坐标系(正八面体的3条对角线两两正交,这也是正八面体被叫做“正轴形”的原因),则我们能将正八面体的顶点坐标记为

( ±1, 0, 0 )

( 0, ±1, 0 )

( 0, 0, ±1 )

正八面体表面方程为: |x|+|y|+|z|=1

更一般的,如果正八面体的对角线平行于坐标轴,中心为(x0,y0,z0),外接圆半径为r(棱长为),则正八面体表面方程为: |x-x0|+|y-y0|+|z-z0|=r如果中心在原点的正八面体被拉长,成为菱形体,则更一般的八面体方程为其内接于椭球体表面积S和体积V为:

它的惯性张量I是:当时,菱形体为上述正八面体。

正交投影

正八面体可以以多种不同的方向被正交投影到二维平面,以下表格展示了几种特殊的投影:

正八面体作为3维的正轴体正多面体,自身拥有较高的对称性,它的所有面都是不可区分的。可是我们也可以想象将正八面体的面“涂上”不同的“颜色”,使它其的不同面拥有不同的“几何意义”,使正八面体拥有不同的对称性。正八面体的对称群是Oh(正八面体群),是三维的超正八面体群。在此对称性下,正八面体的所有面都带有相同对“颜色”,对称性最高,群阶48。该群的子群体现了正八面体更低的对称性:Td(群阶24),截半正四面体的对称群;D3d(群阶12),三角反棱柱的对称群;D4h(群阶16),四角双棱锥(正四棱柱的对偶)的对称群;D2h(群阶8),三维长菱体(三维长方体的对偶)的对称群。

对偶性

正八面体的对偶多面体是立方体。

当正八面体在立方体之内:

正八面体体积: 立方体体积

=[(1/3)×高×底面积]×2: 边

=(1/3)(n/2)[(n)/2]2: n

=1: 6

历史

柏拉图认为正八面体介于正四面体(火)和正二十面体(水)之间,因此认为它代表的元素是空气。

参考来源