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光滑函数

中文名:光滑函数

外文名:smooth function

类 别:函数

学 科:数学

光滑函数(smooth function)是指在其定义域内无穷阶数连续可导的函数。 [1]

定义

光滑函数(smooth function)在数学中特指无穷阶可导的函数。若一函数是连续的,则称其为 函数;若函数1阶可导,且其1阶导函数连续,则被称为 函数;若n阶可导,且其n阶导函数连续,则为 函数。而光滑函数是对所有n都属于 的函数,特称其为光滑函数。

分类

1.分段光滑函数
若一元函数在闭区间上分段连续,至多除有限个点之外可微且导数连续,在这有限个点存在有限的广义单侧连续导数,则一元函数称为闭区间上的分段光滑函数。若f定义在无界区间上,而在此区间的任何闭子区间上分段光滑,则此一元函数称为在该无界区间上分段光滑。 分段光滑函数是分段可微的。

2.部分光滑函数
通俗的讲,部分光滑函数是一个全局非光滑的函数(globally non-smooth),然而沿着某一方向函数是光滑的,甚至2阶可导,然后“垂直”(transversal)于该方向,函数依旧非光滑。

实现

例如,以自然对数为底的指数函数,即y=e^x显然是光滑的,因为它的导数就是其本身。
构造在给定区间外为零但在区间内非零的光滑函数经常很有用。这是可以达到的;另一方面来讲,一个幂级数不可能有这样的属性。这表明光滑和解析函数之间存在着巨大的鸿沟;所以泰勒定理一般不可以应用到展开光滑函数。
流形的光滑映射
光滑流形之间的光滑映射可以用坐标图的方式来定义。因为函数的光滑性的概念和特定的坐标图的选取无关。这样的映射有一个一阶导数,定义在切向量上;它给出了在切丛的级别上的对应纤维间的线性映射。
在需要讨论所有无穷可微函数的集合时,以及该空间的元素在微分和积分、求和、取极限时的行为时,人们发现所有光滑函数的空间不是一个合适的选择,因为它在这些操作下不是完备和闭合的。对于这个情况的一个正确处理,我们可以采用索伯列夫空间(Sobolev space )的概念。


参考来源