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卡尔·龙格
卡尔·龙格
原文名 Yammie Nam
出生 (1856-08-30)1856年8月30日  
逝世 1927年1月3日(1927-01-03)(70歲)
国籍 德国
职业 数学家, 物理学家,与光谱学家

中文名 卡尔·龙格

出生日期 1856年8月30日

国 籍 德国

逝世日期 1927年1月3日

人物生平

卡尔·龙格是一位德国数学家, 物理学家,与光谱学家。在数值分析学里,他是龙格-库塔法的共同发明者与共同命名者。龙格的幼年在古巴哈瓦那度过。在那期间,他的父亲尤利乌斯·龙格是驻古巴的丹麦外交官。后来,他全家迁移至不来梅,德国。

1880 年,他得到柏林大学的数学博士,是著名德国数学家,被誉为“现代分析之父”的卡尔·魏尔施特拉斯的学生。1886 年,他成为在德国汉诺威的汉诺威莱布尼兹大学的教授。

他的兴趣包括数学,光谱学,大地测量学,与天体物理学。除了纯数学以外,他也从事很多涉及实验的工作。他跟海因里希·凯瑟一同研究各种元素的谱线,又将研究的结果应用在天体光谱学。

1904 年,因为哥廷根大学教授,菲利克斯·克莱因的主动邀请,他同意去那里教书。1925 年,他在哥廷根大学退休。

月球的龙格陨石坑(Runge crater) 是因他而命名的。

龙格-库塔法

数值分析中,龙格-库塔法(Runge-Kutta)是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。

经典四阶龙格库塔法

对于一阶精度的欧拉公式有龙格法的稳定区域:   

yi+1=yi+h*K1   K1=f(xi,yi)

当用点xi处的斜率近似值K1与右端点xi+1处的斜率K2的算术平均值作为平均斜率K*的近似值,那么就会得到二阶精度的改进欧拉公式:   

yi+1=yi+h*( K1+ K2)/2   

K1=f(xi,yi)   

K2=f(xi+h,yi+h*K1)

依次类推,如果在区间[xi,xi+1]内多预估几个点上的斜率值K1、K2、……Km,并用他们的加权平均数作为平均斜率K*的近似值,显然能构造出具有很高精度的高阶计算公式。经数学推导、求解,可以得出四阶龙格-库塔公式,也就是在工程中应用广泛的经典龙格-库塔算法:

yi+1=yi+h*( K1+ 2*K2 +2*K3+ K4)/6   

K1=f(xi,yi)   

K2=f(xi+h/2,yi+h*K1/2)   

K3=f(xi+h/2,yi+h*K2/2)   

K4=f(xi+h,yi+h*K3)

通常所说的龙格-库塔法是指四阶而言的,我们可以仿二阶、三阶的情形推导出常用的标准四阶龙格-库塔法公式。龙格-库塔法具有精度高,收敛,稳定(在一定条件下),计算过程中可以改变步长,不需要计算高阶导数等优点,但仍需计算 在一些点上的值,如四阶龙格-库塔法每计算一步需要计算四次 的值,这给实际计算带来一定的复杂性,因此,多用来计算“表头”

龙格现象

在计算方法中,有利用多项式对某一函数的近似逼近,这样,利用多项式就可以计算相应的函数值。例如,在事先不知道某一函数的具体形式的情况下,只能测量得知某一些分散的函数值。例如我们不知道气温随日期变化的具体函数关系,但是我们可以测量一些孤立的日期的气温值,并假定此气温随日期变化的函数满足某一多项式。这样,利用已经测的数据,应用待定系数法便可以求得一个多项式函数f(x)。

应用此函数就可以计算或者说预测其他日期的气温值。一般情况下,多项式的次数越多,需要的数据就越多,而预测也就越准确。龙格现象例外发生了:龙格在研究多项式插值的时候,发现有的情况下,并非取节点(日期数)越多多项式就越精确。著名的例子是f(x)=1/(1+25x^2).它的插值函数在两个端点处发生剧烈的波动,造成较大的误差。究其原因,是舍入误差造成的。   

具体的情况可参考下列Mathematica程序:   

n = 10; x = Range[-1, 1, 2/n]; y = 1./(1 + 25 x^2);

p =Transpose[{x, y}];   Clear[t];

f = LagrangeInterpolation[x, y, t];   

Show[   Plot[{1./(1 + 25 t^2), f}, {t, -1, 1}],   ListPlot[p, PlotStyle -> PointSize[0.02]]   ]

拉普拉斯-龙格-楞次矢量

在经典力学里,拉普拉斯-龙格-楞次矢量(简写为 LRL 矢量)主要是用来描述,当一个物体环绕着另外一个物体运动时,轨道的形状与取向。典型的例子是行星的环绕着太阳公转。在一个物理系统里,假若两个物体以万有引力相互作用,则 LRL 矢量必定是一个运动常数,不管在轨道的任何位置,计算出来的 LRL 矢量都一样;也就是说, LRL 矢量是一个保守量。更广义地,在开普勒问题里,由于两个物体以有心力相互作用,而有心力遵守反平方定律,所以,LRL 矢量是一个保守量。

氢原子是由两个带电粒子构成的。这两个带电粒子以遵守库仑定律的静电力互相作用.静电力是一个标准的反平方有心力。所以,氢原子内部的微观运动是一个开普勒问题。在量子力学的发展初期,薛定谔还在思索他的薛定谔方程的时候,沃尔夫冈·泡利使用 LRL 矢量,关键性地导引出氢原子的发射光谱。这结果给予物理学家很大的信心,量子力学理论是正确的。   

在经典力学与量子力学里,因为物理系统的某一种对称性,会产生一个或多个对应的保守值。 LRL 矢量也不例外。可是,它相对应的对称性很特别;在数学里,开普勒问题等价于 一个粒子自由地移动于 四维空间的三维球;所以,整个问题涉及四维空间的某种旋转对称。 

拉普拉斯-龙格-楞次矢量是因皮埃尔-西蒙·拉普拉斯,卡尔·龙格,与威尔汉·楞次而命名。它又称为拉普拉斯矢量,龙格-楞次矢量,或楞次矢量。有趣的是,LRL 矢量并不是这三位先生发现的!这矢量曾经被重复地发现过好几。它等价于天体力学中无量纲的离心率矢量。发展至今,在物理学里,有许多各种各样的 LRL 矢量的推广定义;牵涉到狭义相对论,或电磁场,甚至于不同类型的有心力。