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| 同伦论 |
同伦论是拓扑学的重要概念。应该指出，映射的同伦关系是从拓扑空间X到Y的所有连续映射所成集合上的一个 等价关系，它将这些映射分成一些等价类，称每个等价类为一个同伦类。研究映射的同伦分类问题是同伦论的基本内容之一。
简介
代数拓扑学中研究与连续映射的连续形变有关的各种课题，是代数拓扑学的一个主要组成部分。同伦概念的直观解释就是连续变形，以此为基础定义的基本群被称为同伦群。最早论及同伦群的是法国数学家儒勒·昂利·庞加莱，他于1895年引进的复形基本群被称为第一同伦群。1912年荷兰数学家布劳威尔引入同维流形之间映射的度以研究同伦分类，开创不动点理论。20世纪20年代德国数学家霍普夫探讨了球面同伦理论。20世纪30年代波兰数学家胡雷维奇建立了群的同伦理论，引进拓扑空间的n维同伦群。另一位波兰数学家博苏克于1936年定义了从拓扑空间到n维球面的映射类的和，由此得到博苏克上同伦群。20世纪40年代原苏联数学家列夫·庞特里亚金给出从(n+k)维球到n维球的映射同伦分类，被称为庞特里亚金类。20世纪50年代初，法国数学家让-皮埃尔·塞尔提出了研究同伦群的新方法，利用纤维化的谱序列，取得了球面同伦群计算的突破性进展。20世纪50年代末英国数学家J.F.亚当斯提出新的谱序列，成为研究同伦论的重要工具。20世纪60年代初广义同调论的发展使同调的问题可以转化为同伦的问题，从此代数拓扑学的这两个主要分支统一起来，共同获得重大发展。
评价
设f、g是拓扑空间X到Y的两个连续映射，若存在连续映射H：X×I→Y使得：H(x，0)=f(x)，H(x，1)=gx∈X则称f与g同伦，记为f≃g：X→Y或f≃g，映射H称为f与g之间的一个同伦。f与g的同伦H也可理解为单参数映射族{ht}t∈I，ht连续地依赖于t且h0=f，h1=g，即当参数t从0变到1时，映射f连续地形变为g。与常值映射同伦的映射称为零伦的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切连续映射之集，则同伦关系≃是C[X，Y]上等价关系，每个等价类称为一个同伦类，同伦类的全体所成集记为[X，Y]。设Y是R的子空间，f，g：X→Y是连续映射，若对每个x∈X，点f(x)与g(x)可由Y中线段连结，则f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零伦，即[X，Y]仅含一个元素。设X，Y与Z均为拓扑空间，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，则gf≃gf： X→Z。[1]