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| 同餘 |
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同餘,數論中的重要概念。給定一個正整數m，如果兩個整數a和b滿足a-b能夠被m整除，即(a-b)/m得到一個整數，那麼就稱整數a與b對模m同餘，記作a≡b(mod m)。對模m同餘是整數的一個等價關係。
同餘關係：
同餘：如果a和b除以c的餘數相同，就說a和b關於模c同餘，記作a≡b(mod c)。
如果兩個數a和b的差能夠被m整除，那麼就說a和b對模數m同餘（關於m同餘）。
比如，28-13=15除以5正好除盡，我們就說28和13對於模數5同於，因為15是5的整數倍。它的另外一層含義就是說：28和13除以5的餘數相同。a和b對m同餘，我們記作a≡b(mod m)。比如，28與13對5同餘可以寫作28≡13(mod 5)。
同餘關係是一種等價關係。
1.自反性：一個數永遠和自己本身同餘
2.對稱性：a和b同餘，b和a也就同餘
3.傳遞性：a和b同餘，b和c也同餘，可以推出a和c也是同餘的
同餘運算中還有一些稍微複雜的性質。比如，同於運算和整數加減法一樣滿足「等量+等量，其和不變」。[1]
理論背景
數學上，兩個整數除以同一個整數，若得相同餘數，則二整數同餘（英文：Modular arithmetic，德文：Kongruenz）。同餘理論常被用於數論中。最先引用同餘的概念與符號者為德國數學家高斯。同餘理論是初等數論的重要組成部分，是研究整數問題的重要工具之一，利用同餘來論證某些整除性的問題是很簡便的。同餘是數學競賽的重要組成部分。
公元972年，在一份阿拉伯手稿中，提出了這樣一個問題：一個正整數n何時能成為一個由三個有理平方數形成的等差數列的公差，也就是說x-n，x，x+n都是平方數。十三世紀，意大利數學家斐波那契指出5和7是同餘數，他也猜想1、2、3不是同餘數，但未能給出證明。直到1659年，法國大數學家費爾馬運用他自己發明的無窮下降法證明了1、2、3不是同餘數。十八世紀，大數學家歐拉首次證明了7是同餘數。1952年，Heegner證明了任意模8餘5、7的素數和任意模4餘3的素數的兩倍均為同餘數。2000年，美國克雷數學研究所公布了千禧年七大數學難題，每破解其中一個難題者將獲得100萬美元的獎金。其中就有著名的BSD猜想（全稱Birch and Swinnerton-Dyer猜想），而這個猜想與同餘數問題有緊密的聯繫。2012年，田野證明了存在無窮多個具有任意指定素因子個數的同餘數，這是在同餘數問題上的一個根本性突破，也首次給出了解決BSD猜想的線索。
同餘符號
兩個整數a、b，若它們除以整數m所得的餘數相等，則稱a與b對於模m同餘或a同餘於b模m。
記作：a≡b (mod m)，
讀作：a同餘於b模m，或讀作a與b對模m同餘，例如26≡2(mod 12)。
定義
設m是大於1的正整數，a、b是整數，如果m|(a-b)，則稱a與b關於模m同餘，記作a≡b(mod m)，讀作a與b對模m同餘。
顯然,有如下事實
（1）若a≡0(mod m)，則m|a；
（2）a≡b(mod m)等價於a與b分別用m去除，餘數相同。
證明
充分性：
設a=mq1+r1,b=mq2+r2,0<=r1,r2<m
∵ m|(a-b),a-b=m(q1-q2)+(r1-r2).
則有m|(r1-r2).
∵0<=r1,r2<m
∴0<=|r1-r2|<m
又∵m|(r1-r2)
即r1-r2=0
∴r1=r2.
性質
1.反身性：a≡a (mod m)；
2.對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a (mod m)；
3.傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡c(mod m)；
4.同餘式相加：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a d(mod m)；
5.同餘式相乘：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則ac≡bd(mod m)。
證明：
∵a≡b(mod m)∴m|(a-b) 同理m|(b-c),
∴m|[(a-b)+(b-c)]∴m|(a-c).
故a≡c(mod m).
6.線性運算：如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m)，那麼
(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)；
(2)a * c ≡ b * d (mod m)。
證明：
(1)∵a≡b(mod m),
∴m|(a-b)
同理 m|(c-d)
∴m|[(a-b)±(c-d)]
∴m|[(a±c)-(b±d)]
∴a ± c ≡ b ± d (mod m)
(2)∵ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)
又 m|(a-b) , m|(c-d)
∴m|(ac-bd)
∴a * c ≡ b * d (mod m)
7.除法：若 ，其中gcd(c,m)表示c和m的最大公約數，
特殊地， ；
8.冪運算：如果 ；
9.若 ；
10.若 表示m1,m2,...mn的最小公倍數。
相關定理
1.歐拉定理：設a,m∈N，(a,m)=1，則
(註：φ(m)指模m的簡系個數， φ(m)=m-1，如果m是素數；
2.費馬小定理: 若p為質數，則 （但是當p|a時不等價）。
3.中國剩餘定理（孫子定理）：
設整數 （mi的連乘）。則對於任意的j在(1,n)整數，下列聯立的同餘式有解：
令x為從1到n，ajxj的和，則x適合下列聯立同餘式，
另：求自然數a的個位數字，就是求a與哪一個一位數對於模10同餘。
一次同餘式和孫子定理同餘式的求解中，一次同餘式是最基本的。設整係數n次(n>0)多項式 。 (2)
兩兩互素，而x表示x模mi的最小非負剩餘。
如果已知x的模係數記數法，就可用孫子定理找出x。這個記數法的優點是加法和乘法無須進位，它在計算機方面有應用。
素數為模的同餘式關於素數為模的同餘式，1770年，J.-L.拉格朗日證明了如下定理：設p是素數，那麼模 p的n次同餘式的解數不大於 n（重解也計算在內）。人們稱之為拉格朗日定理。由此立即可以得威爾森定理：如果 p是素數，那麼(p-1)!+1≡0(mod p)。因為x-1≡0(mod p)有p-1個解1,…,p-1，故由拉格朗日定理可得
將x=0代入上式得-1≡(-1)(p-1)!(mod p),這就證明了威爾森定理。威爾森定理的逆定理也是成立的，可用反證法簡單證出。用拉格朗日定理還可證明：當p≥5是一個素數時,則有同餘。這個定理是1862年，由J.沃斯頓霍姆證明的。
設 的個數N的研究，是數論的重要課題之一。
早在1801年，C.F.高斯就研究了同餘式 。
設ƒ(x)模 p無重因式，1924年，E.阿廷猜想同餘式 也有類似的結果。1973年，P.德利涅證明了韋伊猜想。他的傑出工作獲得了1978年的國際數學家會議的費爾茲獎。