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對角線

來自 圖蟲創意網 的圖片

對角線 幾何學名詞,定義為連接多邊形兩個不相鄰 頂點線段,或者連接多面體任意兩個不在同一面上的頂點的線段。另外在代數學中,n階行列式,從左上至右下的數歸為主對角線,從左下至右上的數歸為副對角線

目錄

基本信息

中文名 對角線[1]

外文名 diagonal [2]

幾何圖形

幾何連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段,或者連接多面體任意兩個不在同一面上的頂點的線段.

從n 邊形的一個頂點出發,可以引n -3條對角線

n邊形共有n×(n-3)÷2個對角線

◎關於矩形對角線的知識:

長×長+寬×寬=對角線×對角線(其實就是勾股定理)即兩個直角邊的平方和等於斜邊的平方。

狹義的對角線,是在多邊形中任意兩個非鄰接的頂點的連線(線段).

廣義的對角線,是在多維度體中任意兩個非鄰接的頂點的連線(線段).[1]

代數

行列式

在n階行列式中,從左上至右下的數歸為主對角線,從左下至右上的數歸為副對角線。


克萊姆(Cramer)法則:主對角線的數分別相乘,所得值相加;副對角線的數分別相乘,所得值的相反數相加。兩者總和為行列式的值。此法僅適用於小於4階的行列式。(如右圖)

矩陣

一個m×n階矩陣的對角線為所有第k行第k列元素的全體,k=1,2,3… min{m,n}。

集合

設X,Y是任意兩個集合,按定義一切序對(x,y)所構成的集合:

X×Y := {(x,y)|(x∈X)∧(y∈Y)}

叫做集合X,Y(按順序)的直積或笛卡爾積,X×X叫做X^2。

集合中的對角線:

△ = {(a,b)∈X^2| a = b }

是X^2的一個子集,它給出集X中元素的相等關係,事實上,a△b表示(a,b)∈△。即a=b。

四邊形對角線

由三角形的三個頂點就能確定這個三角形的位置、形狀和大小;當沒有給出頂點時,由三角形的一些元素(共六個元素,分別為三角形的三條邊和三個內角)也能確定三角形的形狀和大小。確定了三角形,就能研究這個三角形的中線、高、角平分錢、中位線這幾個重要的線段。在四邊形中,是通過對角線把它分割成三角形來研究的,這樣四邊形中的對角線就顯得更加重要。本文就如何巧用四邊形的對角線來判定特殊的四邊形舉例加以分析,供同學們學習時參考。

一. 利用對角線判定特殊的四邊形

在課堂上我們已探索過以下幾個重要的結論:

⑴對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;

⑵對角線互相平分且相等的四邊形是矩形;

⑶對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形;

⑷對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形;

⑸對角線相等的梯形是等腰梯形。

其實以上這些結論是有聯繫的。如圖1,四邊形ABCD中,兩條對角線相交於點O。

⑴當OA=OC,OB=OD時,四邊形ABCD是平行四邊形。

⑵在OA=OC,OB=OD的基礎上增加AC=BD條件時,四邊形 ABCD在平行四邊形的基礎上變成矩形。

⑶在OA=OC,OB=OD的基礎上增加AC BD條件時,四邊形ABCD在平行四邊形的基礎上變成菱形。

⑷在OA=OC,OB=OD的基礎上增加AC=BD, 條件時,四邊形ABCD在平行四邊形的基礎上變成正方形。

⑸當AB//CD, 且 ,OA=OB時,此時的四邊形ABCD為對角線相等的梯形,即等腰梯形。

由此可知,把一個一般的四邊形變為特殊的四邊形,可以通過改變兩條對角線的大小關係和位置關係來完成。這也是特殊四邊形之間重要的聯繫紐帶之一。

二. 利用對角線判定動態四邊形的形狀

如圖2, 中,點O是邊AC上的一個動點,P是BC延長線上一點。過點O作直線MN//BC,設MN交∠BCA的平分線於點E,交∠PCA的平分線於點F,連結AE、AF。

⑴圖中有等腰三角形嗎?

⑵當點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?簡要說明理由。

⑶在⑵中的矩形可能是正方形嗎?此時 應滿足什麼條件?

分析:⑴圖2中有等腰三角形。

理由:

是等腰三角形。

⑵當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形。理由如下:

由⑴得。

由O是AC的中點,得。

所以 :

所以四邊形AECF的兩條對角線AC、EF互相平分且相等。故四邊形AECF為矩形。

所以,當點O運動到AC的中點時,四邊形AECF是矩形。

⑶在⑵中的矩形可能是正方形。

理由:因為MN//BC,當∠ACB=90°時,∠AOE=∠ACB=90°,即對角線AC、EF互相垂直。

所以這時四邊形AECF是正方形。

即在這當中,當∠ACB=90°時,在⑵中的矩形AECF是正方形。

參考來源