1915年6月15日生于上海，1927年2月考入上海著名的公立务本女中读书。徐瑞云从小喜欢数学，读中学时对数学的兴趣更加浓厚，因此，1932年9月高中毕业后报考了浙江大学数学系。当时，浙大数学系的教授有 [[ 朱叔麟 ]] 、 [[ 钱宝琮 ]] 、 [[ 陈建功 ]] 和 [[ 苏步青 ]] 。此外，还有几位讲师、助教。数学系的课程主要由陈建功和苏步青担任。当时数学系的学生很少，前一届两个班学生共五人，她这届也不过十几人。

当时苏步青才30岁，看上去十分年轻，因此徐瑞云的同学中有人认为苏步青是助教，可是听完一堂课后就不住地赞叹说:"想不到助教竟能讲得这么好。"这件事引起知情者的哄笑。徐瑞云在陈建功和苏步青的教导下，勤奋学习，专心听讲，认真做笔记，她的考试成绩经常是满分。1936年7月，徐瑞云以优异成绩毕业了，被浙大数学系留校任助教。1937年2月，26岁的徐瑞云与28岁的生物系助教 [[ 江希明 ]] 喜结伉俪。新婚三个月后，徐瑞云夫妇获得亨伯特留学德国的奖学金，双双乘船漂洋赴德国留学，攻读博士学位。

徐瑞云有幸被德国著名的数学大师 [[ 卡拉凯屋独利 ]] 接受，由他担任她的数学博士指导老师。当时有不少学生想请他作导师，他都没有同意。而徐瑞云这位东方女士因学习勤奋，数学功底扎实，成了卡拉凯屋独利的关门弟子。徐瑞云主要研究三角级数论。这门学科起源于物理学的热传导问题的傅里叶分析的主要部分，是当时国际上研究的热门之一，在中国还是一个空白。

在50年代和60年代就经常邀请国内外专家来校讲学，其中有陈建功、苏步青、 [[ 华罗庚 ]] 等著名数学家，以及匈牙利、民主德国的一些数学家。此外，还聘请兄弟院校的教授来系讲课。1964年9月，中国数学会在上海召开了全国函数论会议，徐瑞云是6人领导小组成员之一。 徐瑞云一直从事分析数学的教学和研究，特别擅长于三角级数论。她非常重视基础数学教学，重视教材建设，编写了很多讲义，翻译了《实变函数论》(上、下册)、《富里埃级数》等书，在国内学术界产生了较大的影响。在做好教学的同时，积极从事研究，发表了多篇富有学术价值的论文，受到同行的高度价。

完成学业的徐瑞云夫妇，随即离德回国，于1941年4月回到母校，双双被聘为副教授，正式登上在战火硝烟的大后方培养人才的讲台。在艰苦的条件下，陈建功和苏步青没有中断在杭州时共创的函数论和微分几何两个数学讨论班，这是一种教学相长、遴选英彦的科研形式，徐瑞云也参与其间。1944年11月，英国驻华科学考察团团长李约瑟参观了浙大数学系和理学院，连声称赞道:"你们这里是东方的剑桥!"这更加激励了徐瑞云的勤奋工作。她这时教的学生 [[ 曹锡华 ]] 、 [[ 叶彦谦 ]] 、 [[ 金福临 ]] 、 [[ 越民义 ]] 、 [[ 孙以丰 ]] 、 [[ 杨宗道 ]] 等，后来都成了杰出的数学家和数学教育家。1946年，31岁的徐瑞云被提升为正教授。

在50年代，徐瑞云注意采用苏联教材，如 [[ 斯米尔诺夫 ]] 著的《高等数学教程》， [[ 普里瓦洛夫 ]] 著的《复变函数引论》等。特别是她将 [[ 那汤松 ]] 著的《实变函数论》翻译出版，对于实变函数的教学起了很好的促进作用。当时在师范院校，实变函数被视为"三高"课程之一，徐瑞云教授亲自为系里青年教师讲授《实变函数论》。60年代，徐瑞云还与 [[ 王斯雷 ]] 教授翻译出版了Hardy与Rogosinsky合著的《富里埃级数》一书。