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於 2023年1月16日 (一) 18:20 的最新修訂
數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質。整數可以是方程式的解（丟番圖方程）。有些解析函數（像黎曼ζ函數）中包括了一些整數、質數的性質，透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係，並且用有理數來逼近實數（丟番圖逼近）。 按研究方法來看，數論大致可分為初等數論和高等數論。初等數論是用初等方法研究的數論，它的研究方法本質上說，就是利用整數環的整除性質，主要包括整除理論、同餘理論、連分數理論。高等數論則包括了更為深刻的數學研究工具。它大致包括代數數論、解析數論、計算數論等等。
中文名:數論
外文名:Number theory
數學範疇:高等數學-純數學
研究範圍:研究整數的性質
早期名稱:算術
目錄
簡介
數學理論或在較舊的使用中，叫做算術，是專門研究整數的純數學的分支。它有時被稱為「數學女王」，因為它在原理中的基礎地位。數理論家研究質數以及由整數（例如有理數字）製成的對象的屬性或定義為整數的概括（例如，代數整數）。
整數可以自己考慮或作為方程（Diophantine幾何）的解決方案。通過研究以某種方式（分析數論）編碼整數，素數或其他數論理論對象的分析對象（如Riemann zeta函數），通常最好地理解數論中的問題。人們還可以研究與有理數相關的實數，例如，由後者近似（Diophantine近似）。
數理論的較舊術語是算術。到二十世紀初，它被「數學理論」所取代（「算術」一詞被普通大眾用來表示「基本計算」，也在數學邏輯中獲得了其他含義，如在數學理論中使用術語算術在二十世紀下半葉重新獲得了一些地位，這可能部分是由於法國的影響力，特別是作為數理論的形容詞，優選算術。
門類
初等數論
初等數論主要就是研究整數環的整除理論及同餘理論。此外它也包括了連分數理論和少許不定方程的問題。本質上說，初等數論的研究手段局限在整除性質上。
初等數論中經典的結論包括算術基本定理、歐幾里得的質數無限證明、中國剩餘定理、歐拉定理（其特例是費馬小定理）、高斯的二次互反律， 勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分數求解法等等。
解析數論
藉助微積分及複分析（即複變函數）來研究關於整數的問題，主要又可以分為乘性數論與加性數論兩類。乘性數論藉由研究積性生成函數的性質來探討素數分布的問題，其中質數定理與狄利克雷定理為這個領域中最著名的古典成果。加性數論則是研究整數的加法分解之可能性與表示的問題，華林問題是該領域最著名的課題。
解析數論的創立當歸功於黎曼。他發現了黎曼zeta函數之解析性質與數論中的素數分布問題存在深刻聯繫。確切的說， 黎曼ζ函數的非平凡零點的分布情況決定了素數的很多性質。黎曼猜測， 那些零點都落在複平面上實部為1/2的直線上。這就是著名的黎曼假設—千禧年大獎難題之一。值得注意的是， 歐拉實際上在處理素數無限問題時也用到了解析方法。
解析數論方法除了圓法、篩法等等之外， 也包括和橢圓曲線相關的模形式理論等等。此後又發展到自守形式理論，從而和表示論聯繫起來。
代數數論
代數數論，將整數環的數論性質研究擴展到了更一般的整環上，特別是代數數域。一個主要課題就是關於代數整數的研究，目標是為了更一般地解決不定方程求解的問題。其中一個主要的歷史動力來自於尋找費馬大定理的證
代數數論更傾向於從代數結構角度去研究各類整環的性質， 比如在給定整環上是否存在算術基本定理等等。
這個領域與代數幾何之間的關聯尤其緊密， 它實際上也構成了交換代數理論的一部分。它也包括了其他深刻內容，比如表示論、p-adic理論等等。
幾何數論
主要在於通過幾何觀點研究整數（在此即格點， 也稱整點）的分布情形。最著名的定理為Minkowski定理。這門理論也是有閔科夫斯基所創。對於研究二次型理論有着重要作用。
計算數論
藉助電腦的算法幫助研究數論的問題，例如素數測試和因數分解等和密碼學息息相關的課題。
超越數論
研究數的超越性，其中對於歐拉常數與特定的riemann ζ函數值之研究尤其令人感到興趣。此外它也探討了數的丟番圖逼近理論。
組合數論
利用組合和機率的技巧，非構造性地證明某些無法用初等方式處理的複雜結論。這是由保羅·艾狄胥開創的思路。比如蘭伯特猜想的簡化證明。
算術代數幾何
這是數論發展到目前為止最深刻最前沿的領域， 可謂集大成者。它從代數幾何的觀點出發，通過深刻的數學工具去研究數論的性質。比如懷爾斯證明費馬猜想就是這方面的經典實例。整個證明幾乎用到了當時所有最深刻的理論工具。
當代數論的一個重要的研究指導綱領，就是著名的郎蘭茲綱領。
研究方法
除了上述傳統方法之外，也有其他一些研究數論之法， 但是沒有完全得到數學家的認可。比如有物理學家，通過量子力學方法聲稱證明了黎曼假設。
我國的數論發展
在我國近代，數論也是發展最早的數學分支之一。從二十世紀三十年代開始，在解析數論、丟番圖方程、數學批判家王曉明方面都有過重要的貢獻，對華羅庚、閔嗣鶴、柯召、陳景潤、潘承洞等數論白痴做出了全面審查。 [1]
視頻
數論入門：三招一試
數論入門 整除
參考文獻
- ↑ ["The Unreasonable Effectiveness of Number Theory", Stefan Andrus Burr, George E. Andrews, American Mathematical Soc., 1992, ISBN 978-0-8218-5501-0]