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| 映射 | |
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映射，在数学里，映射是个术语，指两个元素的集之间元素相互"对应"的关系，为名词。
"映射"或者"投影"，需要预先定义投影法则部分的函数后进行运算。因此"映射"计算可以实现跨维度对应。相应的微积分属于纯数字计算无法实现跨维度对应，运用微分模拟可以实现本维度内的复杂模拟。 映射可以对非相关的多个集合进行对应的近似运算，而微积分只能在一个连续相关的大集合内进行精确运算。
映射，或者射影，在数学及相关的领域经常等同于函数。 基于此，部分映射就相当于部分函数，而完全映射相当于完全函数。
在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。
在形式逻辑中，这个术语有时用来表示函数谓词(Functional predicate)，在那里函数是集合论中谓词的模型。
基本信息
中文名 映射 [1]
外文名 mapping
应用学科 数学 [2]
词性 名词
概念阐释
设A、B是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对A中的每个元素a，按法则f，在B中有唯一确定的元素b与之对应，则称f为从A到B的映射，记作f:A→B。
其中，b称为元素a在映射f下的象，记作:b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合称为映射f的值域，记作f(A)。
注意:(1)对于A中不同的元素，在B中不一定有不同的象;(2)B中每个元素都有原象(即满射)，且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象(即单射)，则称映射f建立了集合A和集合B之间的一个一一对应关系，也称f是A到B上的一一映射。
映射，或者射影，在数学及相关的领域还用于定义函数。函数是从非空数集到非空数集的映射，而且只能是一对一映射或多对一映射。
在很多特定的数学领域中，这个术语用来描述具有与该领域相关联的特定性质的函数，例如，在拓扑学中的连续函数，线性代数中的线性变换等等。
如果将函数定义中两个集合从非空集合扩展到任意元素的集合(不限于数)，我们可以得到映射的概念:
映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的一个术语。
按照映射的定义，下面的对应都是映射。
举例说明
(1)设A={1,2,3,4}，B={3,5,7,9}，集合A中的元素x按照对应关系"乘2加1"和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
(2)设A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照对应关系"x除以2得的余数"和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
(3)设A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照对应关系"计算面积"和集合B中的元素对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
(4)设A=R，B={直线上的点}，按照建立数轴的方法，是A中的数x与B中的点P对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
(5)设A={P|P是直角坐标系中的点}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐标系的方法，是A中的点P与B中的有序实数对(x,y)对应，这个对应是集合A到集合B的映射。
映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明，函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。
一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个(一对一)。
(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射，而其它三图中所示对应关系就是映射。)
或者说，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
成立条件
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条:
1.定义域的遍历性:X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象
2.对应的唯一性:定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应
映射的分类
映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行:
1.根据结果的几何性质分类:满射(到上)与非满射(内的)
2.根据结果的分析性质分类:单射(一一的)与非单射
3.同时考虑几何与分析性质:满的单射(一一对应)。
个数关系
集合AB的元素个数为m,n,
那么，从集合A到集合B的映射的个数为n的m次
函数和映射，满映射和单映射的区别。
函数是数集到数集映射，并且这个映射是"满"的。
即满映射f: A→B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。
"数集"就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。
"映射"是比函数更广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A→B，元素关系就是b = f(a).
一个映射f: A→B称作"满"的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原象。
在函数的定义中不要求是满射，就是说值域应该是B的子集。(这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。)
象集中每个元素都有原象的映射称为满射 :
即B中的任意一元素y都是A中的像，则称f为A到B上的满射，强调f(A)=B(B的原象可以多个)
原象集中不同元素的象不同的映射称为单射 :
若A中任意两个不同元素x1≠x2,它们的像f(x1)≠f(x2)，则称f为A到B的单射，强调f(A)是B的子集
单射和满射可共同决定为一一双射。
数学名词
八边形 八面体 百分比 百分点 百分位数 半径 半球 半圆 被乘数 被除数 被加数 被减数 比 比例 边 变量 标准差 表面积 并集 补集 不等边三角形 不等式 不定积分 差 长 常量 乘 乘方 乘数 除 除数 垂心 次方 次方根 大于 大于等于 代数 单调性 单项式 导数 等边三角形 等式方程式 等腰三角形 等腰梯形 等于 底 底面 点 定积分 定理 定义域 对数 钝角 钝角三角形 多边形 多面体 二次方程 多项式 二次方根平方根 二次方平方 二进制 二十面体 反余割 反余切 反余弦 反正割 反正切 反正弦 方差 非正态分布 分布 分母 分数 分子 负 复数
高 公理 公式 勾股定理 轨迹 函数 和 横坐标 弧 弧度 环 积 积分 极限 集合 几何 计算 加 加权平均数 加数 假设 减 减数 交集 角 角度 阶乘 截尾 进位 九边形 九面体 矩形 矩阵 开方 空集 空间 宽 棱台 棱柱 棱锥 立方体 菱形 零 六边形 六面体 面 面积 命题 内切圆 内心 排列 旁心 抛物线 平角 平均数 平行 平行六面体 平行四边形 七边形 七面体 奇偶性 球 曲线统计图 全等 权 锐角 锐角三角形 三次方程 三次方根立方根 三次方立方 三角 三角形 扇形 扇形统计图 商 上舍入 射线 十边形 十二边形 十二面体 十进制 十六进制 十面体 十一边形 十一面体 实数 数 数列级数 数字 双曲线 四边形 四次方 四次方程 四次方根 四面体 四舍五入 算术 梯形 体 体积 条形统计图 统计 图表 图象 椭圆 外切圆 外心 微分 微积分 未知数 无理数 无穷大 无穷小 无效数字 五边形 五面体 系数 下舍入 线 线段 相交 相似 相位 小数 小数点 小于 小于等于 斜边 行列式 虚数 旋转 一次方程 映射 有理数 有效数字 余割 余切 余弦 元素 原点 圆 圆台 圆心 圆周 圆周率 圆柱 圆锥 运算 运算符 折线统计图 振幅 整数 正 正多边形 正方形 正割 正切 正态分布 正弦 证明 直角 直角边 直角三角形 直角梯形 直径 值域 指数幂 重心 周长 周角 周期 周期性 轴 柱形统计图 子集 自然数 纵坐标 组合 坐标系 坐标轴