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| 自然对数 |
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自然对数是以常数e为底数的对数，记作lnN（N>0）。在物理学，生物学等自然科学中有重要的意义，一般表示方法为lnx。数学中也常见以logx表示自然对数。
简介
以常数e为底数的对数叫做自然对数记作ln N(N>0).
欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783) 著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支. 著名的七座桥问题也是他解决的。 他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。 欧拉公式有两个 一个是关于多面体的 如凸多面体面数是F顶点数是V棱数是E则V-E+F=2这个2就称欧拉示性数。 另一个是关于级数展开的 e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位i的平方=-1。
评价
自然对数的底数e是由一个重要极限给出的.我们定义：当x趋于无限时，lim(1+1/x)^x=e.
e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828…，它是一个超越数.
对数函数
当自然对数ln N中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作y=In x（x为自变量，y为因变量）.
e的级数展开式
易证明：函数f(x)=e^x展开为x的幂级数(Maclaurin级数)是
f(x)=e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+…+(x^n)/n!+…；
特别地，当x=1时就得到了e的展开式
e=1+1+1/2!+1/3!+…+1/n!+….
历史
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：log(ab) = loga + logb.
但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？10吗？或是2？为了决定这个底数，他做了如下考虑：
1．所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。
2．那么现在只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看）。
3．这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1.换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。
4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。总的来说就是1 - 1/X ，X越大越好。在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算
（1-1/X）^1 = P1 ，
（1-1/X）^2 = P2 ，
……
那么对数表上就可以写上P1 的对数值是1，P2的对数值是 2……（以1-1/X作为底数）。而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。
5．最后他再调整了一下，用（1- 1/X）^ X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/ X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。两个值之间最小的差为1/X。
6．现在让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1 - 1/X）^ X趋近于一个值。这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了--- 这个大数学家就是著名的欧拉(Euler)，自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。
当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。因此就叫它自然对数底了。
自然律螺线
涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线表达自然律。螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：φkρ=αe.其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。
自然律之美
“自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：(1+1/x)^x
当X趋近无穷时的极限。人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究(1+1/x)^x ，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。
渊源及发展
1.宇宙与生命
现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。
生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。
2.自然律的价值
“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。
如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。
3.自然律的表达
e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。
4.螺线的哲学
英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？
我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺旋状的。
古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。
有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！
5.自然律的哲学有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。
“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。正因为如此，它才吸引并且值得人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）
近似值
用计算机可以计算出e的近似值，如下：
0~500
e=2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995
95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274
27466 39193 20030 59921 8174135966 29043 57290 03342 95260
59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901
15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680
82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069
55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760
67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416
92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696
77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312
500~1000
77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825
28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117
30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429
53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509
96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422
87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496
84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418
49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016
76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051
01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354
1000后
02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224
74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868
76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246
65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409
75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251
64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743
70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622
64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828
93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959
30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298
49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812
88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169
84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177
88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327
61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109
62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310
05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275
36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965
50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183
15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139
55990 06737 64829 22443 75287 18462 45780 36192 98197 13991
47564 48826 26039 03381 44182 32625 15097 48279 87779 96437
30899 70388 86778 22713 83605 77297 88241 25611 90717 66394
65070 63304 52795 46618 55096 66618 56647 09711 34447 40160
70462 62156 80717 48187 78443 71436 98821 85596 70959 10259
68620 02353 71858 87485 69652 20005 03117 34392 07321 13908
03293 63447 97273 55955 27734 90717 83793 42163 70120 50054
51326 38354 40001 86323 99149 07054 79778 05669 78533 58048
96690 62951 19432 47309 95876 55236 81285 90413 83241 16072
26029 98330 53537 08761 38939 63917 79574 54016 13722 36187
89365 26053 81558 41587 18692 55386 06164 77983 40254 35128
43961 29460 35291 33259 42794 90433 72990 85731 58029 09586
31382 68329 14771 16396 33709 24003 16894 58636 06064 58459
25126 99465 57248 39186 56420 97526 85082 30754 42545 99376
91704 19777 80085 36273 09417 10163 43490 76964 23722 29435
23661 25572 50881 47792 23151 97477 80605 69672 53801 71807
76360 34624 59278 77846 58506 56050 78084 42115 29697 52189
08740 19660 90665 18035 16501 79250 46195 01366 58543 66327
12549 63990 85491 44200 01457 47608 19302 21206 60243 30096
41270 48943 90397 17719 51806 99086 99860 66365 83232 27870
93765 02260 14929 10115 17177 63594 46020 23249 30028 04018
67723 91028 80978 66605 65118 32600 43688 50881 71572 38669
84224 22010 24950 55188 16948 03221 00251 54264 94639 81287
36776 58927 68816 35983 12477 88652 01411 74110 91360 11649
95076 62907 79436 46005 85194 19985 60162 64790 76153 21038
72755 71269 92518 27568 79893 02761 76114 61625 49356 49590
37980 45838 18232 33686 12016 24373 65698 46703 78585 33052
75833 33793 99075 21660 69238 05336 98879 56513 72855 93883
49989 47074 16181 55012 53970 64648 17194 67083 48197 21448
88987 90676 50379 59036 69672 49499 25452 79033 72963 61626
58976 03949 85767 41397 35944 10237 44329 70935 54779 82629
61459 14429 36451 42861 71585 87339 74679 18975 71211 95618
73857 83644 75844 84235 55581 05002 56114 92391 51889 30994
63428 41393 60803 83091 66281 88115 03715 28496 70597 41625
62823 60921 68075 15017 77253 87402 56425 34708 79089 13729
17228 28611 51591 56837 25241 63077 22544 06337 87593 10598
26760 94420 32619 24285 31701 87817 72960 23541 30606 72136
04600 03896 61093 64709 51414 17185 77701 41806 06443 63681
54644 40053 31608 77831 43174 44081 19494 22975 59931 40118
88683 31483 28027 06553 83300 46932 90115 74414 75631 39997
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47017 25086 34976 53672 88605 96675 27408 68627 40791 28565
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07306 26576 33469 77429 56346 43716 70939 71930 60876 96349
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00015 12114 34422 56023 87447 43252 50769 38707 77751 93299
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22067 97540 62106 20806 49882 91845 43953 01529 98209 25030
05498 25704 33905 53570 16865 31205 26495 61485 72492 57386
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63106 80696 49248 51232 63269 95146 03596 03729 72531 98368
42336 39046 32136 71011 61928 21711 15028 28016 04488 05880
23820 31981 49309 63695 96735 83274 20249 88245 68494 12738
60566 49135 25267 06046 23445 05492 27581 15170 93149 21879
59271 80019 40968 86698 68370 37302 20047 53143 38181 09270
80300 17205 93553 05207 00706 07223 39994 63990 57131 15870
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42213 81572 21311 63288 11205 21464 89805 18009 20247 19391
71055 53901 13943 31668 15158 28843 68760 69611 02505 17100
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60111 26811 53108 38731 76173 23235 26360 58381 73151 03459
57365 38223 53499 29358 22836 85100 78108 84634 34998 35184
04451 70427 01893 81994 24341 00905 75376 25776 75711 18090
08816 41833 19201 96262 34162 88166 52137 47173 25477 72778
34887 74366 51882 87521 56685 71950 63719 36565 39038 94493
66421 76400 31215 27870 22236 64636 35755 50356 55769 48886
54950 02708 53923 61710 55021 31147 41374 41061 34445 54419
21013 36172 99628 56948 99193 36918 47294 78580 72915 60885
10396 78195 94298 33186 48075 60836 79551 49663 64489 65592
94818 78517 84038 77332 62470 51945 05041 98477 42014 18394
77312 02815 88684 57072 90544 05751 06012 85258 05659 47030
46836 34459 26525 52137 00806 87520 09593 45360 73162 26118
72817 39280 74623 09468 53678 23106 09792 15993 60019 94623
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20270 83121 50156 40634 13416 17166 44806 98154 83764 49157
39001 21217 04154 78725 91998 94382 53649 50514 77137 93991
47205 21952 90793 96137 62110 72384 94290 61635 76045 96231
25350 60685 37651 42311 53496 65683 71511 66042 20796 39446
66211 63255 15772 90709 78473 15627 82775 98788 13649 19512
57483 32879 37715 71459 09106 48416 42678 30994 97236 74420
17586 22694 02159 40792 44805 41255 36043 13179 92696 73915
75424 19296 60731 23937 63542 13923 06178 76753 95871 14361
04089 40996 60894 71418 34069 83629 93675 36262 15452 47298
46421 37528 91079 88438 13060 95552 62272 08375 18629 83706
67872 24430 19579 37937 86072 10725 42772 89071 73285 48743
74355 78196 65117 16618 33088 11291 20245 20404 86822 00072
34403 50254 48202 83425 41878 84653 60259 15064 45271 65770
00445 21097 73558 58976 22655 48494 16217 14989 53238 34216
00114 06295 07184 90427 78925 85527 43035 22139 68356 79018
07640 60421 38307 30877 44601 70842 68827 22611 77180 84266
43336 51780 00217 19034 49234 26426 62922 61456 00433 73838
68335 55534 34530 04264 81847 39892 15627 08609 56506 29340
40526 49432 44261 44566 59212 91225 64889 35696 55009 15430
64261 34252 66847 25949 14314 23939 88454 32486 32746 18428
46655 98533 23122 10466 25989 01417 12103 44608 42716 16619
00125 71958 70793 21756 96985 44013 39762 20967 49454 18540
71184 46433 94699 01626 98351 60784 89245 14058 94094 63952
67807 35457 97003 07051 16368 25194 87701 18976 40028 27648
41416 05872 06184 18529 71891 54019 68825 32893 09149 66534
57535 71427 31848 20163 84644 83249 90378 86069 00807 27093
27673 12758 19665 63941 14896 17168 32980 45513 97295 06687
60474 09154 20428 42999 35410 25829 11350 22416 90769 43166
85742 42522 50902 69390 34814 85645 13030 69925 19959 04363
84028 42926 74125 73422 44776 55841 77886 17173 72654 62085
49829 44989 46787 35092 95816 52632 07225 89923 68768 45701
78230 38096 56788 31122 89305 80914 05726 10865 88484 58731
01658 15116 75333 27674 88701 48291 67419 70151 25597 82572
70740 64318 08601 42814 90241 46780 47232 75976 84269 63393
57735 42930 18673 94397 16388 61176 42090 04068 66339 88568
41681 00387 23892 14483 17607 01166 84503 88721 23643 67043
31409 11557 33280 18297 79887 36590 91665 96124 02021 77855
88548 76176 16198 93707 94380 05666 33648 84365 08914 48055
71039 76521 46960 27662 58359 90519 87042 30017 94655 36788 ......
复数类型
问题：求复数a+bi的自然对数
解答：把复数a+bi写成指数形式，也就是re^(iθ)。
（r为复数a+bi的模，即r=√(a^2+b^2)，θ为复数a+bi的辐角主值）
a+bi=re^(iθ)
我们注意到：r=e^ln(r)。如：2=e^ln(2)等。
所以re^(iθ)=e^ln(r)·e^(iθ)=e^(ln(r)+iθ)
即a+bi=e^(ln(r)+iθ)
而根据自然对数的定义，若x=e^n，那么ln(x)=n
所以ln(a+bi)=ln(r)+iθ
例：求ln(-1)
这里r=1（实数的模就是实数的绝对值，|-1|=1），θ=π（-1的辐角主值是180°，即π弧度）。
代入，ln(-1)=ln(1)+πi=πi
实际上，ln(-1)=πi，可根据自然对数的定义推出e^(πi)=-1，移项，得e^(πi)+1=0。这就是最美的公式。[1]