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負數,是數學術語,負數與正數表示意義相反的量。負數用負號(Minus Sign,即相當於減號)"-"和一個正數標記,如−2,代表的就是2的相反數。於是,任何正數前加上負號便成了負數。一個負數是其絕對值的相反數。在數軸線上,負數都在0的左側,最早記載負數的是我國古代的數學著作《九章算術》。在算籌中規定"正算赤,負算黑",就是用紅色算籌表示正數,黑色的表示負數。兩個負數比較大小,絕對值大的反而小。[1]

負數

目錄

基本介紹

任何正數前加上負號都等於負數。0加上負號就不是負數!在數軸線上,負數都在0的左側,沒有最小的負數,所有的負數都比自然數小 比零小(<0 )的數。用負號(即相當於減號)「-」標記。例如:-1就是一個負數,讀作:負1。

中國在《九章算術》《方程》章中就引入了負數(negative number)的概念和正負數加減法的運算法則。在某些問題中,以賣出的數目為正(因是收入),買入的數目為負(因是付款);余錢為正,不足錢為負。在關於糧谷計算中,則以加進去的為正,減掉的為負。「正」、「負」這一對術語從這時起一直沿用到現在。

在《方程》章中,引入的正負數加法法則稱為「正負術」。正負數的乘除法則出現得比較晚,在1299 年朱世傑編寫的《算學啟蒙》中,《明正負術》一項講了正負數加減法法則,一共八條,比《九章算術》更加明確。在「明乘除段」中有「同名相乘為正,異名相乘為負」之句,也就是(±a)×(±b)=+ab,(±a)×( b)=-ab,這樣的正負數乘法法則,是中國最早的記載。宋末李冶還創用在算籌上加斜劃表示負數,負數概念的引入是中國古代數學最傑出的創造之一。[2] 印度人最早在中國之後提出負數,628年左右的婆羅摩笈多(約598-665)。他提出了負數的運算法則,並用小點或小圈記在數字上表示負數。在歐洲初步認識提出負數概念,最早要算意大利數學家斐波那契(1170-1250)。他在解決一個盈利問題時說︰我將證明這個問題不可能有解,除非承認這個人可以負債。15世紀的舒開(1445-1510)和16世紀的史提非(1553)雖然他們都發現了負數,但又都把負數說成是荒謬的數,卡當(1545)給出了方程的負根,但他把它說成是「假數」。韋達知道負數的存在,但他完全不要負數。笛卡兒部分地接受了負數,他把方程的負根叫假根,因它比「無/零」更小。

哈雷奧特(1560-1621)偶然地把負數單獨地寫在方程的一邊,並用「-」表示它們,但他並不接受負數。邦別利(1526-1572)給出了負數的明確定義。史提文在方程里用了正、負係數,並接受了負根。基拉德(1595-1629)把負數與正數等量齊觀、並用減號「-」表示負數。總之,在16、17世紀,歐洲人雖然接觸了負數,但對負數接受的進展是緩慢的。負數可以用來表示溫度等各種東西。

數學術語

負數的簡介

任何正數前加上負號都等於負數。負數比零小,正數都比零大。零既不是正數,也不是負數。

在數軸線上,負數都在0的左側,沒有最大與最小的數,所有的負數都比自然數小。

比零小(<0)的數.用負號(即相當於減號)「-」標記。

去除負數前的負號等於這個負數的絕對數。

如-2 -5 33 -45 -0.6等;-2的絕對值為2,-5.33的絕對值為5.33,-45的絕對值為45,-0.6的絕對值為0.6等。

分數也可做負數,如:-2/5

負號(Minus Sign)。

例題一

我們在小學學過自然數;一個物體也沒有,就用0來表示,測量和計算有時不能得到整數的結果,這就要用分數和小數表示.同學們還見過其他種類的數嗎?

現在有兩個溫度計,溫度計液面指在0以上第6刻度,它表示的溫度是6℃,那麼溫度計液面指在0以下第6刻度,這時的溫度如何表示呢?

提示: 如果還用6℃來表示,那麼就無法區分是零上6℃還是零下6℃,因此我們就引入一種新數——負數.

參考答案: 記作-6℃.

說明:我們為了區分零上6℃與零下6℃這一組具有相反意義的量,因而引入了負數的概念.

例題二

下面我們再看一個例子,從中國地形圖上可以看到,有一座世界最高峰—珠穆朗瑪峰,圖上標着8844M;

還有一個吐魯番盆地,圖上標着-155M.你能說出它們的高度各是多少嗎

提示:

中國地形圖上可以看到,上述兩處都標有它們的高度的數,圖上標的數表示的高度是相對海平面說的,

通常稱為海拔高度.8844表示珠穆朗比海平面高8844米,-155表示吐魯番盆地比海平面低155米.

參考答案: 珠穆朗瑪峰的高度是海拔8844米;

吐魯番盆地的高度是海拔-155米.

說明:這個例子也說明了我們為了實際需要引入負數,是為了區分海平面以上與海平面以下高度,它們也表示

具有相反意義的量.

例題三

甲地海拔高度是35米 乙地海拔高度是15米,丙地海拔高度是-20米,請問哪個地方最高,哪個地方

最低?最高的地方比最低的地方高多少?

提示:35米,15米,-20米分別表示什麼意義?

參考答案: 甲地最高,丙地最低,最高的地方比最低的地方高55米。

說明:35米表示高出海平面35米,15米表示高出海平面15米,-20米表示低于海平面20米,所以甲地最高,

丙地最低,且甲地比丙地高55米。

例題四

我們已經知道,具有相反意義,負數表示。例如:零上5℃和零下6℃可記為+5℃和-6℃;高出海平面10米和低于海平面8米可記為+10米和-8米;收入200元和支出300元可記為+200元和-300元;前進30米和後退40米可記為+30米和-40米,請問上升7米和向東運動9米可記為+7米和-9米嗎?是具有相反意義的量嗎?

參考答案:

不可以記為+7米和-9米。

說明:具有相反意義的量必須滿足兩個條件:(1)它們必須是同一屬性的量;(2)它們的意義相反。上升和下降;向東運動和向西運動才是相反意義的量,因為上升和向東運動不是具有相反意義的量,所以不可

以記為+7米和-9米。

-π是超越數,不是有理數

記住:有理數包括整數和分數,而整數則包括正整數、0、負整數,分數則包括正分數和負分數。

發展歷史

人們在生活中經常會遇到各種相反意義的量。比如,在記賬時有餘有虧;在計算糧倉存米時,有時要記進糧食,有時要記出糧食。為了方便,人們就考慮了相反意義的數來表示。於是人們引入了正負數這個概念,把余錢進糧食記為正,把虧錢、出糧食記為負。可見正負數是生產實踐中產生的。

據史料記載,早在兩千多年前,中國就有了正負數的概念,掌握了正負數的運算法則。人們計算的時候用一些小竹棍擺出各種數字來進行計算。比如,356擺成||| ,3056擺成等等。這些小竹棍叫做「算籌」算籌也可以用骨頭和象牙來製作。

中國三國時期的學者劉徽在建立負數的概念上有重大貢獻。劉徽首先給出了正負數的定義,他說:「今兩算得失相反,要令正負以名之。」意思是說,在計算過程中遇到具有相反意義的量,要用正數和負數來區分它們。

劉徽第一次給出了正負區分正負數的方法。他說:「正算赤,負算黑;否則以斜正為異」意思是說,用紅色的小棍擺出的數表示正數,用黑色的小棍擺出的數表示負數;也可以用斜擺的小棍表示負數,用正擺的小棍表示正數。

中國古代著名的數學專著《九章算術》(成書於公元一世紀)中,最早提出了正負數加減法的法則:「正負數曰:同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之;其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之。」這裡的「名」就是「號」,「除」就是「減」,「相益」、「相除」就是兩數的絕對值「相加」、「相減」,「無」就是「零」。

用現在的話說就是:「正負數的加減法則是:同符號兩數相減,等於其絕對值相減,異號兩數相減,等於其絕對值相加。零減正數得負數,零減負數得正數。異號兩數相加,等於其絕對值相減,同號兩數相加,等於其絕對值相加。零加正數等於正數,零加負數等於負數。」

這段關於正負數的運算法則的敘述是完全正確的,與現在的法則完全一致!負數的引入是中國數學家傑出的貢獻之一。

用不同顏色的數表示正負數的習慣,一直保留到現在。現在一般用紅色表示負數,報紙上登載某國經濟上出現赤字,表明支出大於收入,財政上虧了錢。

負數是正數的相反數。在實際生活中,我們經常用正數和負數來表示意義相反的兩個量。夏天武漢氣溫高達42°C,你會想到武漢的確象火爐,冬天哈爾濱氣溫-32°C一個負號讓你感到北方冬天的寒冷。

在現今的中小學教材中,負數的引入,是通過算術運算的方法引入的:只需以一個較小的數減去一個較大的數,便可以得到一個負數。這種引入方法可以在某種特殊的問題情景中給出負數的直觀理解。而在古代數學中,負數常常是在代數方程的求解過程中產生的。對古代巴比倫的代數研究發現,巴比倫人在解方程中沒有提出負數根的概念,即不用或未能發現負數根的概念。3世紀的希臘學者丟番圖的著作中,也只給出了方程的正根。然而,在中國的傳統數學中,已較早形成負數和相關的運算法則。

除《九章算術》定義有關正負運算方法外,東漢末年劉烘(公元206年)、宋代揚輝(1261年)也論及了正負數加減法則,都與九章算術所說的完全一致。特別值得一提的是,元代朱世傑除了明確給出了正負數同號異號的加減法則外,還給出了關於正負數的乘除法則。他在算法啟蒙中,負數在國外得到認識和被承認,較之中國要晚得多。在印度,數學家婆羅摩笈多於公元628年才認識負數可以是二次方程的根。而在歐洲14世紀最有成就的法國數學家丘凱把負數說成是荒謬的數。直到十七世紀荷蘭人日拉爾才首先認識和使用負數解決幾何問題。

與中國古代數學家不同,西方數學家更多的是研究負數存在的合理性。16、17世紀歐洲大多數數學家不承認負數是數。帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說。帕斯卡的朋友阿潤德提出一個有趣的說法來反對負數,他說(-1):1=1:(-1),那麼較小的數與較大的數的比怎麼能等於較大的數與較小的數比呢?直到1712年,連萊布尼茲也承認這種說法合理。英國數學家瓦里承認負數,同時認為負數小於零而大於無窮大(1655年)。他對此解釋到:因為a>0時,英國著名代數學家德·摩根 在1831年仍認為負數是虛構的。他用以下的例子說明這一點:「父親56歲,其子29歲。問何時父親年齡將是兒子的二倍?」他列方程56+x=2(29+x),並解得x=-2。他稱此解是荒唐的。當然,歐洲18世紀排斥負數的人已經不多了。隨着19世紀整數理論基礎的建立,負數在邏輯上的合理性才真正建立。

計算法則

+-a+(-b)=-|-a+-b|=負數

-a+b=符號取絕對值較大的加數的符號,數值取「用較大的絕對值減去較小的絕對值 」的所得值

--a-(-b)= -a+|-b| =-a+b,再按負數加正數的方法算

-a-b=-|b+ -a|=負數異號兩數相減,等於其絕對值相加

×-a × -b=|-a × -b| =x

-a×b=-|b × -a|=-y

備註:

①從高等數學角度說,負數的乘法運算並不成立(負數和0沒有對數)沒有對數逆運算,只有正數的乘法運算才有對數逆運算才真正成立。數學家並不認可負數的指數運算的結果。

②生活中遇到的負數乘法運算對於普通人來說成立,因為負數的乘法運算有除法作為逆運算。對於不搞數學專業的人來說不必關心該問題(注意:負數的指數運算真正的檢驗標準、逆運算不是除法,而是對數)

÷-a÷-b=|-a÷-b| =正數

-a÷b=-|-a÷b| =負數  

總得來說,就是同數相除等於正數,異數相除等於負數。

應用:負數可以廣泛應用於溫度、樓層、海拔、水位、盈利、增產/減產、支出/收入、得分/扣分等等的這些方面中。現小學六年級學。(初一也有學)。

參考來源