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| 埃利·約瑟夫·嘉當 | |
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 埃利·約瑟夫·嘉當 | |
| 原文名 | Élie Joseph Cartan |
| 出生 |
1869年4月9日 法國薩瓦多洛米約 |
| 逝世 | 1951年5月6日（82歲） |
| 國籍 | 法國 |
| 職業 | 數學家 |
| 知名作品 |
《黎曼空間幾何學》 《李群幾何學與對稱空間》 |
中文名稱 埃利·嘉當
外文名稱 Élie Joseph Cartan
國籍 法國
出生地 法國薩瓦多洛姆厄
出生日期 1869年4月9日
逝世日期 1951年5月6日
職業 數學家
主要成就
奠定李群理論和其集合應用基礎
基本簡介
在1894年取得博士學位後，他在蒙比利艾和里昂任教，並於1903年在南錫當上教授。他在1909年到巴黎任教，並於1912年成為教授，而在1942年退休。他卒於巴黎。數學家亨利·嘉當是他的兒子。曾指導過華人數學家陳省身。
據他自己在"科研簡介"(Notice sur les travaux scientifiques)所作的描述，他的工作(總數達186，發表於1893-1947年間)的主題是李群的理論。他從在復的簡單李代數上的基礎材料上的工作開始，把恩格爾(Christian Engel)和基令(Wilhelm Killing)先前的工作整理起來。這被證明是有決定性意義的，至少對於分類來講，他鑑定出4個主要的族和5個特殊情況。他也引入了代數群的概念，它在1950年之前並沒有被認真地發展過。
他也定義了反對稱微分形式的一般概念，以我們現在所使用的風格;他通過馬尤厄-嘉當方程處理李群的方式要用到2-形式來表達。那時，稱為Pfaffian系統(也就是用1-形式表達的1階微分方程組)的概念很常用;通過引入表示導數的新變量，和額外的微分形式，他們可以表述很一般的偏微分方程(PDE)系統。嘉當加入了外導數，作為一個完全幾何式的坐標無關的操作。這很自然導致了對於一般的p討論p-形式的需要。嘉當描述了Riquier的一般PDE理論對他的影響。
基於這些基礎 – 李群和微分形式 – 他繼續深入完成了大量工作，以及一些通用的技術，例如移動標架法，這些逐漸融入到數學的主流中。
科研成果
在"科研簡介"中,他把自己的工作分成15個領域。用現代術語來描述，他們是:
李群
李群的表示
超複數(Hypercomplex number), 除法代數(division algebra)
PDE系統, Cartan-Kähler定理
等價性理論
可積系統，延長理論(theory of prolongation)和迴旋系統(systems in involution)。
無窮維群和偽群
微分幾何和活動標架法
一般化空間及其上的結構群和聯絡，嘉當聯絡，和樂(holonomy)，Weyl張量
李群的幾何和拓撲
黎曼幾何
對稱空間
緊群的拓撲和它們的齊次空間
積分不變量和經典力學
相對論, 旋子
這些課題的大部分被後來的數學家完整地研究了。但不是全部:嘉當自己的方法驚人的統一，但大部分的後續工作可以說失去了他的特色。也就是說，變得更代數化。
看看這些不太主流的領域:
PDE理論必須包含奇異解(也就是包絡]),例如在Clairaut方程中所見到的那樣;
延長方法應該在迴旋系統中中止(這是解析理論，而不是光滑理論，並導向形式化可積性理論和Spencer上同調);
等效性問題，如他所說，是通過把結構的圖像變成微分系統的積分流形來建立它們的微分同胚(並由此發現不變量);
活動標架法，不但和主叢和它們的聯絡有關，也需要使用和幾何相適應的標架;
現在，Ehresmann的jet叢方法被用於把切觸作為系統化的等價關係。
所以，從某種意義上來說，嘉當的工作的獨特的一面仍然正在被數學家們所消化。這可以在諸如變分法，Bäcklund變換和微分系統的一般理論之類的領域中不斷地見到;大致來講，這些是微分代數的那些感到現存的加羅華理論所導出的對稱性模型過於狹窄並需要使用和關係的範疇更類似的東西的部分領域。