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正方形,在平面幾何學中,正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形。正方形是正多邊形的一種:正四邊形。

正方形是二維的超方形,也是二維的正軸形。

性質

  • 邊: 兩組對邊分別平行;四條邊都相等;鄰邊互相垂直。
  • 內角:四個角都是90°,內角和為360°。
  • 對角線:對角線互相垂直;對角線相等且互相平分;每條對角線平分一組對角。
  • 對稱性:既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形(有四條對稱軸)。
  • 特殊性質:正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形,對角線與邊的夾角是45°;正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形。
  • 其他性質1:正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質與特性[1]
  • 其他性質2:在正方形裡面畫一個最大的圓(正方形的內切圓),該圓的面積約是正方形面積的78.5%[4分之π]; 完全覆蓋正方形的最小的圓(正方形的外接圓)面積大約是正方形面積的157%[2分之π]。
  • 其他性質3:正方形是特殊的矩形,正方形是特殊的菱形。

對稱性

正方形是一種高度對稱的平面圖形,它關於兩條對角線的交點中心對稱(這個點又被稱作正方形的中心)。它的對稱軸有四條,分別是對邊中點的連線以及兩條對角線。保持正方形不變的變換有8種,包括全等變換,以正方形中心為中心、角度為90度、180度和270度的旋轉,以及關於四條對稱軸的反射。這八個變換組成了一個群,是二面體群中的一個,記作D4。

正方形與無理數

公元前五世紀時,畢達哥拉斯學派[2]最早證明了正方形的對角線長度與邊長長度的比例,是無法表示為兩個自然數的公比的。

平面鑲嵌

用同一種多邊形不重疊地將平面「鋪滿」,稱為平面的正鑲嵌圖。正方形是能夠組成平面的正鑲嵌圖的三種正多邊形之一(另外兩種分別是正三角形和正六邊形)。

視頻

正方形 相關視頻

正方形的性質與判定1
中考專題之正方形解題技巧

參考文獻

  1. 正方形的性質,初三網, 2020-2-15
  2. 畢達哥拉斯學派,豆丁網