[[File:质数.jpg|缩略图||center|[https://img.mianfeiwendang.com/pic/1c6f609b35310ab30358fcd2/1-320-jpg_6_0_______-610-0-0-610.jpg 原图链接] [https://m.mianfeiwendang.com/doc/1c6f609b35310ab30358fcd2 来自免费文档网]]]
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'''<big>质数</big>'''，又称素数，有无限个。 一个大于1的[[ 数学家把 自然数]] 按照乘法性质划分为：1 ， 除了1和它本身外，不能被其他 自然 数1；2，素 数 整除 ， 换句话说就是该数除了1 大于1只能被1 和 它本 自 身 以外不再有其他 整除 的 因 自然 数;否则称为[[ 。例如，2,3,5,7，.....。3，复 合数]] ，至少有两个素数因子。例如，4,6,8,9,10，.... 。
根据算术基本定理，每一个比1大的[[整数]]，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的[[乘积]];而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。最小的质数是2。
按照埃拉特斯尼筛法，可以构造一个公式：
素数的埃拉特斯特尼筛法公式素数普遍公式
（清华大学出版社【品数学】第5页）
西元前250年同样是古希腊的数学家埃拉托塞尼提出一种筛法：
（一），“要得到不大于某个自然数N的所有素数，只要在2---N中将不大于√N的素数的倍数全部划去即可”。
（二），“如果自然数N是合数，则它有一个因子d满足1<d≤√N.。
（三），如果自然数N是素数，当且仅当N不能被不大于√N的任何素数整除”。
见（代数学辞典[上海教育出版社]1985年。屉部贞世朗编。259页）。
（四），对于（三）这句话的汉字可以等价转换成为用英文字母表达的公式：
公式形式：
N=P₁M₁+A₁=P₂M₂+A₂=.....=Pr Mr +Ar ......(1)。
其中P₁，P₂，....，Pr 表示顺序素数 2，3，5，......。Ai≠0。
这样解得的N，若N＜P²r+1，则N是一个素数。
我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示：
N≡A₁(modP₁)，N≡A₂(modP₂)，.....N≡Ar(modPr)。。。。.（2）
由于（2）的模P₁，P₂，，.，Pr 都是素数，因此两两互素，根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的A₁，A₂，，，Ar，（2）式在P₁P₂....Pr范围内有唯一解。
范例
例如，r=1，N=2M₁+1,解得N=3,5,7。7﹤3²=9，求得了（3,3²）区间的全部素数。
r=2，
N=2M₁+1=3M₂+1,解得N=7,13,19;
N=2M₁+1=3M₂+2,解得N=5,11,17,23.
求得了（5,5²）区间的全部素数。
仿此下去，可以一个不漏地求得任意大的全部素数。
人类为了寻找这个公式，花费了2000多年
目前为止，人们未找到一个公式可求出所有质数。<ref>[http://tech.gmw.cn/2013-06/17/content_7978417.htm 数学猜想：推动科学发展的强大动力之一]</ref>
2016年1月，发现世界上迄今为止最大的质数，长达2233万位，如果用普通字号将它打印出来长度将超过65公里。
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在一个大于1的数a和它2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。
存在任意长度的素数等差数列。（格林和陶哲轩，2004年）
一个偶数可以写成两个数字之和，其中每一个数字都最多只有9个质因数。（挪威布朗，1920年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中的因子个数有上界。（瑞尼，1948年）
一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5) (中国，1968年)
一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2) (中国陈景润)
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==著名猜想==
哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和 ？？https://factpedia.org/wiki/%E5%93%A5%E5%BE%B7%E5%B7%B4%E8%B5%AB%E7%8C%9C%E6%83%B3%E7%9C%9F%E7%9B%B8
孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？
'''歌德巴赫猜想'''
在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。 今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。
从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。
若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。
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'''黎曼猜想'''
黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。
在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res(s) = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题至今仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。
'''孪生质数'''
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1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。
例如3和5 ，5和7，11和13，…，10016957和10016959等等都是孪生质数。孪生质数有一个十分精确的普遍公式，是根据一个定理：“若自然数Q与Q+2都不能被不大于根号Q+2的任何质数整除，则Q与Q+2是一对质数，称为相差2的孪生质数。这一句话可以用公式表达：Q=p1m1+a1=p2m2+a2=....=pkmk+ak其中p1，p2，...，pk表示顺序质数2，3，5，....。an≠0，an≠pn-2。若Q<P(k+1)的平方减2，则Q与Q+2是一对孪生质数。 所以，只要按着公式计算，理论上有无数个孪生质数。
英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。2013年5月，华人数学家张益唐在孪生素数研究方面所取得的突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000万的素数对，从而在孪生素数猜想这个重要问题的道路上前进了一大步。
'''梅森质数'''