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| 埃瓦里斯特·伽羅瓦 | |
|---|---|
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埃瓦里斯特·伽羅瓦 | |
| 原文名 | Évariste Galois |
| 出生 |
1811年10月25日 巴黎近郊 |
| 逝世 | 1832年5月31日（20歲） |
| 國籍 | 法國 |
| 職業 | 數學家 |
| 知名作品 |
現代群論的創始人之一 用群論系統化地闡述了五次及五次以上方程不能用公式求解 用群論解決了古代三大作圖問題中的兩個(三等分角和倍立方) |
埃瓦里斯特·伽羅華（Évariste Galois），公元1811年~公元1832年。從民國起至今其中文譯名為伽羅瓦的情況更多。是法國對函數論、方程式論和數論作出重要貢獻的數學家。他的工作為群論一個他引進的名詞奠定了基礎。在父親自殺後他放棄投身於數學生涯，註冊擔任輔導教師。結果因撰寫反君主制的文章而被開除，且因信仰共和體制而兩次下獄。伽羅華死於一次近乎自殺的決鬥引起了後人的種種猜測，可能是被保皇派或警探所激怒而致，時年21歲他被公認為是數學史上兩個最具浪漫主義色彩的人物之一。
基本信息
中文名
埃瓦里斯特·伽羅華
外文名
Évariste Galois
國 籍
法 國
出生日期
1811年10月05日
逝世日期
1832年5月31日
職 業
法國數學家
人物生平
少年
1811年10月25日，伽羅華出生於法國巴黎郊區拉賴因堡伽羅華街的第54號房屋內。現在這所房屋的正面有一塊紀念牌，上面寫着：「法國著名數學家埃瓦里斯特·伽羅華生於此，卒年21歲，1811～1832年」。紀念牌是小鎮的居民為了對全世界學者迄今公認的、曾有特殊功績的、卓越的數學家——伽羅華表示敬意，於1909年6月設置的。
伽羅華的雙親都受過良好的教育。在父母的薰陶下，伽羅華童年時代就表現出有才能、認真、熱心等良好的品格。其父尼古拉·加布里埃爾·伽羅華參與政界活動屬自由黨人，是拿破崙的積極支持者。主持過供少年就學的學校，任該校校長。又擔任拉賴因堡15年常任市長，深受市民的擁戴。伽羅華曾向同監的難友勒斯拜——法國著名的政治家、化學家和醫生說過：「父親是他的一切」。可見父親的政治態度和當時法國的革命熱潮對伽羅華的成長和處事有較大的影響。
伽羅華的母親瑪利亞·阿代累達·伽羅華曾積極參與兒子的啟蒙教育。作為古代文化的熱烈愛好者，她把從拉丁和希臘文學中汲取來的英勇典範介紹給她兒子。1848年發表在《皮托雷斯克畫報》上有關伽羅華的傳記中，特別談到「伽羅華的第一位教師是他的母親，一個聰明兼有好教養的婦女，當他還在童稚時，她一直給他上課」。這就為伽羅華在中學階段的學習和以後攀登數學高峰打下了堅實的基礎。
1823年l0月伽羅華年滿12歲時，離開了雙親，考入有名的路易·勒·格蘭皇家中學。從他的老師們保存的有關他在中學生活的回憶錄和筆記中，記載着伽羅華是位具有「傑出的才幹」，「舉止不凡」，但又「為人乖僻、古怪、過分多嘴」性格的人。我們認為這種性格說明他有個性，而且早已顯露出強烈的求知慾的標誌。
伽羅華在路易·勒·格蘭皇家中學領獎學金，完全靠公費生活。在第四、第三和第二年級時他都是優等生，在希臘語作文總比賽中也獲得好評，並且在1826年10月轉到修辭班學習。
但是第二學季一開始(伽羅華這時剛滿15歲)，由於教師們認為他的體格不夠強壯，校長認為他的判斷力還有待「成熟」，他不得不回到二年級。重修二年級，使伽羅華有機會毫無阻礙地被批准去上初級數學的補充課程。自此他把大部分時間和主要精力用來研究、探討數學課本以外的高等數學。
伽羅華經常到圖書館閱讀數學專著，特別對一些數學大師，如勒讓德的《幾何原理》和拉格朗日的《代數方程的解法》、《解析函數論》、《微積分學教程》進行了認真分析和研究，但他並未失去對其他科目的興趣。
因此，當1827年伽羅華回到修辭班時，他的全面發展甚至比他的數學的天分在同學之中更加出人頭地了。但是他對其它科目的教科書的內容以及教師所採用的教學法之潦草馬虎感到憤怒。所以有的教師認為他被數學的鬼魅迷住了心竅，有的教師用七個字「平靜會使他激怒」來形容他的行為。
這時伽羅華已經熟悉歐拉、高斯、雅可比的著作，這更提高了他的信心，他認為他能夠做到的，不會比這些大數學家們少。到了學年末，他不再去聽任何專業課了，而在獨立地準備參加取得升入綜合技術學校資格的競賽考試。結果儘管考試失敗，但1828年10月，他仍然從中學初級數學班跳到里夏爾的數學專業班。
路易·勒·格蘭中學的數學專業班教師里夏爾，在科學史上，他作為一個很有才華的教師使人追念。里夏爾不僅講課風格優雅，而且善於發掘天才。他遺留下的筆記中記載着：「伽羅華只宜在數學的尖端領域中工作」，「他大大地超過了全體同學」。
里夏爾幫助伽羅華於1828年在法國第一個專業數學雜誌《純粹與應用數學年報》三月號上，發表了他的第一篇論文—《周期連分數一個定理的證明》，並說服伽羅華向科學院遞送備忘錄。1829年，伽羅華在他中學學年快要結束時，把他研究的初步結果的論文提交給法國科學院。
1829年，中學學年結束後，伽羅瓦剛滿18歲，他在報考巴黎綜合技術學校時，由於在口試中主考的教授比內和勒費布雷·德·富爾西對伽羅華闡述的見解不理解，居然嘲笑他。伽羅華在提及這次考試時，曾寫道，他不得不聽「主考人的狂笑聲」。據說「由於被狂笑聲所激怒」，他把黑板擦布扔到主考人頭上，或是因為他拒絕回答有關關於對數這樣的過於簡單的問題，所以再次遭到落選，伽羅華仍然是一個非正式的預備生。
1829年7月2日，正當伽羅華準備入學考試時，他的父親由於受不了天主教牧師的攻擊、誹謗而自殺了。這給了伽羅華很大的觸動，他的思想開始傾向於共和主義。其後不久，伽羅華聽從里夏爾的勸告決定進師範大學，這使他有可能繼續深造，同時生活費用也有了着落。1829年10月25日伽羅華被作為預備生錄取入學。
進入師範大學後的一年對伽羅華來說是最順利的一年，1828年他的科學研究獲得了初步成果。伽羅華寫了幾篇大文章，並提出自己的全部著作來應徵科學院的數學特獎。但是，伽羅華第一次交到法國科學院的手稿被數學家柯西遺失。第二份手稿原來交給科學院常任秘書傅立葉，傅立葉收到手稿後不久就去世了，因而文章也被遺失了。這些著作的某些抄本落到數學雜誌《費律薩克男爵通報》的雜誌社手裡，並在1830年的4月號和6月號上把它刊載了出來。第三次他的手稿由數學家柏松審查，但由於他的內容太過高深，柏松的評語是：完全不能理解。
青年
在師範大學學習的第一年，伽羅華結認了奧古斯特·舍瓦利葉，舍瓦利葉直到伽羅華臨終前一直是他的唯一親近的朋友。1830年7月，伽羅華將滿19歲。他在師範大學的第一年功課行將結束。他這時寫成的數學著作，已經使人有可能對他思想的獨創性和敏銳性作出評價。
現代群論的奠基人是只活了廿年的法國數學家伽羅華﹝Évariste Galois﹞。生於十九世紀初，伽羅華在十二歲前只接受過家庭教育。伽羅華把研究成果呈交法國科學院予名數學家柯西﹝Augustin Louis Cauchy﹞卻給弄丟了。伽羅華重考綜合工科學校時父親因遭人中傷而自殺。伽羅華就讀高等師範學院時撰寫論文呈予傅里葉﹝Joseph Fourier﹞逐鹿獎項，傅里葉卻不幸去世，論文也沒有找到。伽羅華於法國七月革命時在校報上抨擊校長而被迫退學。伽羅華曾身陷囹圄。伽羅華迷戀醫師之女追求無果。伽羅華預期自己時日無多，發憤挑燈夜戰，急急染翰操觚，勾畫畢生所學，譜出最後樂章，並注云：「我沒有時間了」。次天，伽羅華便撒手塵寰，邋邋遢遢黯然而去。
人生後期
伽羅華跟不少藝術家一樣，半生偃蹇潦倒，到死後才綻放閃爍璀璨的光芒。他的理論有什麼精湛之處？不少數學或科學理論，我們會認為即使那理論的創建者沒有發展出那理論，日後總會有其數學家或科學家發展出該理論。例如，牛頓和萊布尼茨幾乎同時而獨立地發展出微積分。然而，有些數學或科學理論，我們難以相信其創建者以外有人能發展出那理論。例如，費曼就怎樣也想不到愛因斯坦是如何創建廣義相對論的。而伽羅華的理論，就是這種別出機杼的神來之筆。
人物成就
19世紀初，有一些數學問題一直困擾着當時的數學家們，而如何求解高次方程就是其中之一。
歷史上人們很早就已經知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。關於三次方程，我國在公元七世紀，也已經得到了一般的近似解法，這在唐朝數學家王孝通所編的《緝古算經》就有敘述。到了十三世紀，宋代數學家秦九韶在他所著的《數書九章》的「正負開方術」里，充分研究了數字高次方程的求正根法，也就是說，秦九韶那時候已得到了高次方程的一般解法。
在西方，直到十六世紀初的文藝復興時期，才由意大利的數學家發現一元三次方程解的公式——卡當公式。
在數學史上，相傳這個公式是意大利數學家塔塔里亞首先得到的,後來被米蘭地區的數學家卡爾達諾(1501～1576年)問到了這個三次方程的解的公式，並發表在自己的著作里。所以現在人們還是叫這個公式為卡爾達諾公式(或稱卡當公式)，三次方程被解出來後，一般的四次方程很快就被意大利的費拉里(1522～1560年)解出。這就很自然的促使數學家們繼續努力尋求五次及五次以上的高次方程的解法。遺憾的是這個問題雖然耗費了許多數學家的時間和精力，但一直持續了長達三個多世紀，都沒有解決。法國數學家拉格朗日更是稱這一問題是在「向人類的智慧挑戰」。
1770年，拉格朗日精心分析了二次、三次、四次方程根式解的結構之後，提出了方程的預解式概念，並且還進一步看出預解式和方程的各個根在排列置換下的形式不變性有關，這時他認識到求解一般五次方程的代數方法可能不存在。此後，挪威數學家阿貝爾利用置換群的理論，給出了高於四次的一般代數方程不存在代數解的證明。
伽羅華通過改進數學大師拉格朗日的思想，即設法繞過拉氏預解式，但又從拉格朗日那裡繼承了問題轉化的思想，即把預解式的構成同置換群聯繫起來的思想，並在阿貝爾研究的基礎上，進一步發展了他的思想，把全部問題轉化或歸結為置換群及其子群結構的分析。
這個理論的大意是：每個方程對應於一個域，即含有方程全部根的域，稱為這方程的伽羅華域，這個域對應一個群，即這個方程根的置換群，稱為這方程的伽羅華群。伽羅華域的子域和伽羅華群的子群有一一對應關係；當且僅當一個方程的伽羅華群是可解群時，這方程是根式可解的。
1829年，伽羅華在他中學最後一年快要結束時，把關於群論初步研究結果的論文提交給法國科學院，科學院委託當時法國最傑出的數學家柯西作為這些論文的鑑定人。在1830年1月18日柯西曾計劃對伽羅華的研究成果在科學院舉行一次全面的意見聽取會。他在一封信中寫道：「今天我應當向科學院提交一份關於年輕的伽羅華的工作報告……但因病在家，我很遺憾未能出席今天的會議，希望你安排我參加下次會議，討論已指明的議題。」然而，第二周當柯西向科學院宣讀他自己的一篇論文時，並未介紹伽羅華的著作，這是一個非常微妙的「事故」。
1830年2月，伽羅華將他的研究成果比較詳細地寫成論文交上去了，以參加科學院的數學大獎評選，希望能夠獲獎。論文寄給當時科學院終身秘書傅立葉，但傅立葉在當年5月去世了，在他的遺物中未能發現伽羅華的手稿。就這樣，伽羅華遞交的兩次數學論文都被遺失了。
對事業必勝的信念激勵着年輕的伽羅華。雖然他的論文一再被丟失，得不到應有的支持，但他並沒有灰心，他堅持他的科研成果，不僅一次又一次地想辦法傳播出去，還進一步向更廣的領域探索。
天才的隕落
伽羅華誕生在拿破崙帝國時代，經歷了波旁王朝的復辟時期，又趕上路易·腓力浦朝代初期，他是當時最先進的革命政治集團——共和派的秘密組織「人民之友」的成員，並發誓：「如果為了喚起人民需要我死，我願意犧牲自己的生命」。
伽羅華敢於對政治上的動搖分子和兩面派進行頑強的鬥爭，年輕熱情的伽羅華對師範大學教育組織極為不滿。由於他揭發了校長吉尼奧對法國七月革命政變的兩面派行為，被吉尼奧的忠實朋友，皇家國民教育委員會顧問庫申起草報告，皇家國民教育委員會1831年1月8日批准立即將伽羅華開除出師範大學。
之後，他進一步積極參加政治活動。1831年5月l0日，伽羅華以「企圖暗殺國王」的罪名被捕。在6月15日陪審法庭上，由於共和黨人的律師竇本的努力，伽羅華被宣告無罪當場獲釋。七月，被反動王朝視為危險分子的伽羅華在國慶節示威時再次被抓，被關在聖佩拉吉監獄，在這裡慶祝過他的20歲生日，渡過了他生命的最後一年的大部分時間。
在監獄中伽羅華一方面與官方進行不妥協的鬥爭，另一面他還抓緊時間刻苦鑽研數學。儘管牢房裡條件很差，生活艱苦，他仍能靜下心來在數學王國里思考。
伽羅華在聖佩拉吉監獄中寫成的研究報告中寫道：「把數學運算歸類，學會按照難易程度，而不是按照它們的外部特徵加以分類，這就是我所理解的未來數學家的任務，這就是我所要走的道路。」請注意到「把數學運算歸類」這句話，道出了他的理想、他的道路。毋庸置疑，這句話系指點目前所稱的群論。由於其後好幾代數學家的工作，最終才實現了伽羅華的理想。正是他的著作，標誌着舊數學史的結束和新數學史的開始。
1832年3月16日伽羅華獲釋後不久，年輕氣盛的伽羅華為了一個舞女，捲入了一場他所謂的「愛情與榮譽」的決鬥。伽羅華非常清楚對手的槍法很好，自己難以擺脫死亡的命運，所以連夜給朋友寫信，倉促地把自己生平的數學研究心得扼要寫出，並附以論文手稿。
另有一說，根據今年的研究，並不是舞女而是斯蒂芬妮·波特林·杜·莫特爾，伽羅瓦遭到求愛遭到拒絕後，說了些冒犯她的話，後與其父與未婚夫決鬥，伽羅華在生活中受到巨大打擊，論文三次被拒，摯愛的父親自殺，未能考入綜合工藝學院，年輕的充滿激情的心被心上人撕碎，如此巨大的壓力下，決鬥僅僅是他自殺的一種方式，決鬥方式為兩人從一把有子彈的槍和一把無子彈的槍中隨機選一把，隔着25公尺射擊，被打穿了腸子。死之前，他對在他身邊哭泣的弟弟說：「不要哭，我需要足夠的勇氣在20歲的時候死去」。
決鬥的前一晚，他用了一整夜的時間在紙上寫下他的研究成果。他不時的中斷，在紙邊空白處寫上「我沒有時間，我沒有時間」，然後又接着寫下一個極其潦草的大綱。他在天亮之前那最後幾個小時寫出的東西，為一個折磨了數學家們幾個世紀的問題找到了真正的答案，並且開創了數學的一片新的天地。
伽羅華對自己的成果充滿自信，他在給朋友舍瓦利葉的信中說：「我在分析方面做出了一些新發現。有些是關於方程論的；有些是關於整函數的……。公開請求雅可比或高斯，不是對這些定理的正確性，而是對這些定理的重要性發表意見。我希望將來有人發現，這些對於消除所有有關的混亂是有益的。」
他被埋葬在公墓的普通壕溝內，所以今天他的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑就是他的著作，由兩篇被拒絕的論文和他在死前那個不眠之夜寫下的潦草手稿組成。
歷史學家們曾爭論過這場決鬥是一個悲慘遭的愛情事件的結局，還是出於政治動機造成的，但無論是哪一種，一位世界上最傑出的數學家在他20歲時被殺死了，他研究數學才只有五年。
天才之死
（本段摘自《數學大師》）
阿貝爾死於貧窮，伽羅華則死於愚蠢。全部科學史上，極度愚蠢戰勝不可抑制的天才的例子，再沒有比埃瓦里斯特·伽羅華過於短促的一生所提供的例子更全面了。關於他的不幸的記錄，很可能作為一切自負的教書匠、無恥的政客，以及驕傲自滿的院士們的一個不祥的紀念碑而豎立。伽羅華不是「無用的天使」，但是面對大群愚蠢的人聯合反對他，就連他那非凡的力量也被粉碎了，他在同一個接着一個的不可戰勝的蠢材的鬥爭中，耗盡了自己的生命。 （在告別人世的前夜）整個晚上，他把飛逝的時間用來焦躁地一氣寫出他的科學上的最後遺言，在死亡之前（他預見到死亡能夠追上他）儘快地寫，把他豐富的思想中那些偉大的東西儘量寫一些出來。他不時中斷，在紙邊空白處寫上「我沒有時間，我沒有時間」，然後又接着塗寫下一個極其潦草的提綱。他在天亮之前那最後幾個小時拚命寫出的東西，將使世世代代的數學家們忙上幾百年。
他一勞永逸地給一個折磨了數學家達幾個世紀之久的謎，找出了真正的解答。這個謎就是在什麼條件下方程是可解的。但這只不過是許多事情中的一件。在這項偉大的工作中，伽羅華極其成功地用了群論。伽羅華的確是今天在全部數學中具有根本重要性的這一抽象論的一位偉大先驅者。 伽羅華把他的遺囑委託給他忠實的朋友舍瓦利耶，全世界都應該感謝它被保留了下來。「我親愛的朋友，」他開始寫道，「我在分析方面作出了一些新的發現。」然後他在時間允許的情況下着手寫出大綱。它們是劃時代的。他結束說：「請雅可比或高斯公開提出他們的意見，不是對這些定理的正確性，而是對它們的重要性。我希望以後會有人發現，辨讀這一堆寫得很潦草的東西，對他們是有益的。滿懷激情地擁抱你。E·伽羅華。」
1832年5月30日清晨很早的時候，伽羅華在「決鬥場」與他的對手相遇。決鬥是在25步的距離用手槍對射。伽羅華倒下了，腸子被射穿。沒有醫生在場。他被丟在他倒下的地方。9點鐘的時候，一個路過那裡的農民把他送到科尚醫院。伽羅華知道他快死了。在不可避免的腹膜炎開始以前，在他的神志仍然完全清醒的時候，伽羅瓦拒絕了一個神父的祈禱。也許他記起了他的父親。他的弟弟，他的家人中唯一得到通知的一個，流着淚趕到了。伽羅華努力以一種堅韌精神去安慰他的弟弟：「不要哭，」他說，「我需要我的全部勇氣在20歲時死去。」 1832年5月31日上午，伽羅華在他生命的第21個年頭去世了。他被埋葬在南公墓的普通壕溝里，所以今天伽羅華的墳墓已無蹤跡可尋。他不朽的紀念碑是他所留下來的的著作，共計60頁。
人物影響
跨越時代的創造
伽羅華死後，按照他的遺願，舍瓦利葉把他的信發表在《百科評論》中。他的論文手稿過了十四年後，也就是1846年，才由法國數學家劉維爾領悟到這些演算中迸發出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。劉維爾最後將這些論文編輯發表在他的極有影響的《純粹與應用數學雜誌》上，並向數學界推薦。1870年法國數學家約當根據伽羅華的思想，撰寫了《論置換與代數方程》一書，他在這本書使里伽羅華的思想得到了進一步的闡述。
伽羅華最主要的成就是提出了群的概念，並用群論徹底解決了根式求解代數方程的問題，而且由此發展了一整套關於群和域的理論，為了紀念他，人們稱之為伽羅華理論。正是這套理論創立了抽象代數學，把代數學的研究推向了一個新的里程。正是這套理論為數學研究工作提供了新的數學工具—群論。它對數學分析、幾何學的發展有很大影響，並標誌着數學發展現代階段的開始。
伽羅華非常徹底地把全部代數方程可解性問題，轉化或歸結為置換群及其子群結構分析的問題。這是伽羅華工作中的第一個「突破」，他猶如劃破黑夜長空的一顆瞬間即逝的流星，開創了置換群論的研究，確立了代數方程的可解性理論，即後來稱為的「伽羅華理論」，從而徹底解決了一般方程的根式解難題。
作為這個理論的推論，可以得出五次以上一般代數方程根式不可解，以及用圓規、直尺(無刻度的尺)三等分任意角和作倍立方體不可能等結論。
對伽羅華來說，他所提出並為之堅持的理論是一場對權威、對時代的挑戰，他的「群」完全超越了當時數學界能理解的觀念。也許正是由於年輕，他才敢於並能夠以嶄新的方式去思考，去描述他的數學世界。也正因如此，他才受到了冷遇。
在這裡，我們後人感受到的是一種孤獨與悲哀，一種來自智慧的孤獨與悲哀。但是，歷史的曲折並不能埋沒真理的光輝。今天由伽羅華開始的群論，不僅對近代數學的各個方向，而且對物理學、化學的許多分支都產生了重大的影響。
在分送伽羅華的論文之前，他的兄弟和奧古斯特。謝瓦利埃將它們重寫了一遍，目的是把那些解釋整理清楚。伽羅華闡述他的思想時總是急於求成，不夠充分，這種習性無疑地由於他只有一個晚上的時間來概要敘述他多年的研究而更為嚴重。雖然他們很盡職地將論文抄本送交卡爾。高斯，卡爾。雅可比和其他一些人，但此後10多年，直到約瑟夫。劉維爾在1846年得到一份之前，伽羅華的工作一直未得到承認。
劉維爾領悟到這些演算中迸發出的天才思想，他花了幾個月的時間試圖解釋它的意義。最後他將這些論文編輯發表在他的極有影響的《純粹與應用數學雜誌》上。其他的數學家對此作出了迅速和巨大的反響，因為事實上伽羅華已經對如何去尋找五次方程的解作了完整透徹的敘述……這是十九世紀數學中由一位它的最悲慘遭的英雄創造的一件傑作。
在對論文的介紹中，劉維爾對為什麼這位年輕數學家會被他的長輩們拒絕，以及他本人的努力怎樣使伽羅華重新受到注意做了反思：過分地追求簡潔是導致這一缺憾的原因。人們在處理像純粹代數這樣抽象和神秘的事物時，應該首先盡力避免這樣做。事實上，當你試圖引尋讀者遠離習以為常的思路進入較為困惑的領域時，清晰性是絕對必需的，就像笛卡爾說過的那樣：「在討論超前的問題時務必空前地清晰。」伽羅華太不把這條箴言放在心上，而我們可以理解這些傑出的數學家想必認為，通過他們審慎的忠告所表現的苛刻，設法使這個充滿才華但尚無經驗的初出茅廬者轉回到正確的軌道上來是合適的。
他們苛評的這位作者，在他們看來是勤奮和富有進取心的，他可以從他們的忠告中獲益。
但是現在一切都改變了，伽羅華再也回不來了！我們不要再過分地作無用的批評，讓我們把缺憾拋開，找一找有價值的東西……
我的熱心得到了好報。在填補了一些細小的缺陷後，我看出伽羅華用來證明這個美妙的定理的方法是完全正確的，在那個瞬間，我體驗到一種強烈的愉悅。
成果
伽羅瓦使用群論的想法去討論方程式的可解性，整套想法現稱為伽羅瓦理論，是當代代數與數論的基本支柱之一。它直接推論的結果十分豐富：
它系統化地闡釋了為何五次以上之方程式沒有公式解，而四次以下有公式解。
它漂亮地證明高斯的論斷：若用尺規作圖能作出正 p 邊形，p 為質費馬數（所以正十七邊形可做圖）。
它解決了古代三大作圖問題中的兩個：「不能任意三等分角」，「倍立方不可能」。
另外，懷爾斯在復證費馬大定理的時候，亦使用到伽羅瓦理論。
人物遺書
我請求我的愛國同胞們，我的朋友們，不要指責我不是為我的國家而死。
我是作為一個不名譽的風騷女人和她的兩個受騙者的犧牲品而死的。我將在可恥的誹謗中結束我的生命。噢！為什麼要為這麼微不足道的，這麼可鄙的事去死呢？我懇求蒼天為我作證，只有武力和強迫才使我在我曾想方設法避開的挑釁中倒下。
我親愛的朋友：
我已經得到分析學方面的一些新發現……
在我一生中，我常常敢於預言當時我還不十分有把握的一些命題。但是我在這裡寫下的這一切已經清清楚楚地在我的腦海里一年多了，我不願意使人懷疑我宣布了自己未完全證明的定理。
請公開請求雅可比或高斯就這些定理的重要性（不是就定理的正確與否）發表他們的看法。然後，我希望有人會發現將這一堆東西整理清楚會是很有益處的一件事。
熱烈地擁抱你
—— 伽羅華
人物評價
伽羅華的想法是有道理的，但事實這道理只是在探求新知時特別有用。
伽羅華的成就成為整個數學界的成就是一件遠比伽羅華想象的更艱難更平常的過程。
視頻資料
咱們聊科技：數學史話之夭折的天才阿貝爾和伽羅瓦