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整除

整除,若整數a除以非零整數b,為整數,且餘數 為零, 我們就說a能被b整除(或說b能整除a),a為被除數,b為除數,即b|a("|"是整除符號),讀作"b整除a"或"a能被b整除"。a叫做b的倍數,b叫做a的約數(或因數)。整除屬於除盡的一種特殊情況。[1]

整除的概念

整除與除盡既有區別又有聯繫。除儘是指數a除以數b(b≠0)所得的商是整數或有限小數而餘數是零時,我們就說a能被b除盡(或說b能除盡a)。因此整除與除盡的區別是,整除只有當被除數、除數以及商都是整數,而餘數是零。除盡並不局限於整數範圍內,被除數、除數以及商可以是整數,也可以是有限小數,只要餘數是零就可以了。它們之間的聯繫就是整除是除盡的特殊情況。

整除的性質

①若a|b,a|c,則a|(b±c)。[2]

②若a|b,則對任意c(c≠0),a|bc。

③對任意非零整數a,±a|a=±1。

整除1.jpg

④若a|b,b|a,則|a|=|b|。

⑤如果a能被b整除,c是任意整數,那麼積ac也能被b整除。

⑥如果a同時被b與c整除,並且b與c互質,那麼a一定能被積bc整除,反過來也成立。

對任意整數a,b,b>0,存在唯一的數對q,r,使a=bq+r,其中0≤r<b,這個事實稱為帶餘除法定理,是整除理論的基礎。

若c|a,c|b,則稱c是a,b的公因數。若d是a,b的公因數,d≥0,且d可被a,b的任意公因數整除,則d是a,b的最大公因數。若a,b的最大公因數等於1,則稱a,b互素,也稱互質。累次利用帶餘除法可以求出a,b的最大公因數,這種方法常稱為輾轉相除法。又稱歐幾里得算法。

運算技巧

能被整除的數有以下辨別方法:

常用辨別方法

整除2.jpg

(1)1與0的特性:

1是任何整數的約數,即對於任何整數a,總有1|a。

0是任何非零整數的倍數,a≠0,a為整數,則a|0。

(2)能被2整除的數的特徵

若一個整數的末位是0、2、4、6或8,則這個數能被2整除。

(3)能被3整除的數的特徵

1、若一個整數的數字和能被3整除,則這個整數能被3整除。

2、由相同的數字組成的三位數、六位數、九位數……這些數字能被3整除。如111令3整除。

整除3.jpg

(4)能被4整除的數的特徵

若一個整數的末尾兩位數能被4整除,則這個數能被4整除。

(5)能被5整除的數的特徵

若一個整數的末位是0或5,則這個數能被5整除。

(6)能被6整除的數的特徵

若一個整數能被2和3整除,則這個數能被6整除。

(7)能被7整除的數的特徵

1、若一個整數的個位數字截去,再從餘下的數中,減去個位數的2倍,如果差是7的倍數,則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數,就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程,直到能清楚判斷為止。同能被17整除的數的特徵。

2、末三位以前的數與末三位以後的差(或反過來)。同能被11,13整除的數的特徵。

整除4.png

(8)能被8整除的數的特徵

若一個整數的末尾三位數能被8整除,則這個數能被8整除。

(9)能被9整除的數的特徵

若一個整數的數字和能被9整除,則這個整數能被9整除。

(10)能被10整除的數的特徵

若一個整數的末位是0,則這個數能被10整除。

(11)能被11整除的數的特徵

整除5.jpg

若一個整數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除,則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理!過程唯一不同的是:倍數不是2而是1!

(12)能被12整除的數的特徵

若一個整數能被3和4整除,則這個數能被12整除。

其他辨別方法

(13)能被13整除的數的特徵

若一個整數的個位數字截去,再從餘下的數中,加上個位數的4倍,如果和是13的倍數,則原數能被13整除。如果和太大或心算不易看出是否13的倍數,就需要繼續上述「截尾、倍大、相加、驗和」的過程,直到能清楚判斷為止。

整除6.jpg

(14)能被17整除的數的特徵

1、若一個整數的個位數字截去,再從餘下的數中,減去個位數的5倍,如果差是17的倍數,則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數,同能被7整除的特徵一樣。

2、若一個整數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除,則這個數能被17整除。

(15)能被19整除的數的特徵

1、若一個整數的個位數字截去,再從餘下的數中,加上個位數的2倍,如果和是19的倍數,則原數能被19整除。如果和太大或心算不易看出是否19的倍數,就需要繼續使用能被13整除特徵的方法。

2、若一個整數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除,則這個數能被19整除。

(16)能被23整除的數的特徵

若一個整數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除,則這個數能被23整除。

統一方法

設整數x的個位數為a,判斷其是否能被n整除:令(x-a)/10-ma=nk(k∈N*),則x=n[10k+(10m+1)a/n],要使x能被n整除,只要(10m+1)/n為自然數。

參考來源