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根軸

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根軸 在平面上任給兩不同心的圓,則對兩圓圓冪 相等的點的集合是一條直線,這條線稱為這兩個圓的根軸。另一角度也可以稱兩不同心圓的等冪點的軌跡為根軸,或者稱作等冪軸[1]

基本信息

中文名 根軸

外文名 radical axis

表達式 (x-a1)^2+(y-b1)^2-(r1)^2=0(1)

應用學科 數學

適用領域範圍 物理

定義

根軸亦稱等冪軸。是一條特殊的直線。指對於不同心兩圓有相等冪的點點軌跡。即向不同心兩圓引相等切線的點的軌跡,是垂直於兩圓連心線的一條直線,該直線稱為兩圓的根軸。

根軸方程

設兩圓O1,O2的方程分別為:

(x-a1)+(y-b1)-(r1)=0...(1)

(x-a2)+(y-b2)-(r2)=0...(2)

由於根軸上任意點對兩圓的圓冪相等,所以根軸上任一點 (x,y) ,有:

(x-a1)+(y-b1)-(r1)=圓冪=(x-a2)+(y-b2)-(r2)。

兩式相減,得根軸的方程(即x,y的方程)為2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0,其中f1=(a1)+(b1)-(r1),f2類似。

圖1. 圖1.

(1)(2)聯立的解,是兩圓的公共點M(x1,y1),N(x2,y2)。

如果是兩組不等實數解,MN不重合且兩圓相交,根軸是兩圓的公共弦。

如果是相等實數解,MN重合,兩圓相切,方程表示兩圓的內公切線。

如果是共軛虛數解,兩圓相離,只有代數規律發揮作用,在坐標系內沒有實質。稱 M,N 是共軛虛點。

尺規作圖

兩圓相交、相切時,根軸為兩圓交點的連線;

內含時,作一適當的圓與兩圓相交,這圓與兩圓的根軸的交點在根軸上.同理再作一點,兩點所在的直線即為根軸(等冪軸)。

定理

1、平面上任意兩圓的根軸垂直於它們的連心線;

2、若兩圓相交,則兩圓的根軸為公共弦所在的直線;

3、若兩圓相切,則兩圓的根軸為它們的內公切線;

4、若兩圓外離,則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線,則切線長相等。從而,根軸必過四條公切線的中點。

5、蒙日定理(根心定理):平面上任意三個圓,若這三個圓圓心不共線,則三條根軸相交於一點,這個點叫它們的根心;若三圓圓心共線,則三條根軸互相平行;

6、反演後的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。

參考來源