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| 狄拉克δ函數 |
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狄拉克δ函數是一個廣義函數，在物理學中常用其表示質點、點電荷等理想模型的密度分布，該函數在除了零以外的點取值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。 狄拉克δ函數在概念上，它是這麼一個「函數」：在除了零以外的點函數值都等於零，而其在整個定義域上的積分等於1。[1]
目錄
定義
物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分布的密度，例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量（即力）等等，但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型，他們不是連續分布於空間或時間中，而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時，那麼它們的密度應該如何表示呢？
一種定義
為了在數學上理想地表示出這種密度分布，引入了δ函數的概念。用數學表示為： 上述表達式不規定δ函數在0點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮，並且函數取值的「大小」是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為零的區域即可。如果函數不在0點取非零值，而在其他地方，可定義
另一種定義
其中H(x)稱為階躍函數或亥維賽單位函數： 可以證明兩種定義是等價的。從第二個定義中，可以看到δ函數可以通過對階躍函數取微分得到，實際上，只要我們對一個不連續函數取微分，就會出現δ函數。
理解
嚴格來說δ函數不能算是一個函數，因為滿足以上條件的函數是不存在的。數學上，人們為這類函數引入了廣義函數的概念，在廣義函數的理論中，δ函數的確切意義應該是在積分意義下來理解。在實際應用中，δ函數總是伴隨着積分一起出現。δ分布在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和概率論里都有很重要的應用。 一些函數可以認為是狄拉克δ函數的近似，但是要注意，這些函數都是通過極限構造的，因此嚴格上都不是狄拉克δ函數本身，不過在一些數學計算中可以作為狄拉克δ函數進行計算。
性質
狄拉克δ函數有以下性質 ，在理解這些性質的時候，應該認為等式兩邊分別作為被積函數的因子時得到的結果相等。
對稱性
偶函数，其导数是奇函数
放縮
放縮（或相似性）
挑選性
這種性質稱為挑選性，它將 挑選出來 上述性質則可看成適用於高階導數的挑選性。
方程的解
如果方程 全是單根，則
处导数的绝对值的倒数。通过这一性质可以得到一些具体的等式，如
與x乘積
以及 這個性質說明δ函數與x的乘積在積分中與0的作用是相同的。
分母為零
方程
表明，当我们用x去除方程的两边，并且x可以取为零时，我们应该在其中一边加上δ函数的某个倍数
，即我們從方程
不能推断出 只能推断出
研究函數
的微分，一般的公式是
為了使導函數在 函數，那麼等式變成
傅里葉變換
δ函數的傅里葉變換是，
根据δ函数的定义，δ函数并不是通常意义下的一般函数，应当看作一种函数列的极限或者泛函，因此δ函数的傅里叶积分也不是通常意义的傅里叶积分而是一种广义的傅里叶积分。
可見，δ函數與常數1是一對傅立葉變換的共軛函數。 δ函數的傅里葉逆變換是: 在多維空間中的δ函數定義如下 例如在三維空間中，三維δ函數可表示為三個一維δ函數乘積表示，在直角坐標系中 在極坐標系中 在球坐標系中
性質
多維的δ函數主要性質
位矢的微分
δ函數可以表示如下 ： 點電荷等抽象模型的密度分布可以表示為 一組點電荷的電荷密度可以表示為 不僅可以用δ函數表示點電荷的密度分布，還可以表示圓柱、球殼上的電荷密度。例如，在電荷q均勻分布在半徑為a的球上，在球坐標系中其電荷密度為
，在柱坐标系中其电荷密度为
電學的高斯定理微分形式為
电场强度为 因此位矢的微分可以表示成 也可代入电荷密度的表达式直接得到。
結構力學
在結構力學中，δ函數可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在t=0時突然受到衝量為I的力的衝擊，其演變可以如下描述： 其中m是質量，ξ是撓度，而k是彈簧常數。 在測度論中，與δ函數相應的有δ測度，其定義如下 設X是一個非空集，任意選取元素 為集合A的特徵函數，定義為
为元素x处的δ测度。
構造
Lebesgue-Stieltjes測度定義為：設F(x)是實數R上單增右連續的函數，對於區間[a,b)，定義 。 則δ測度可表示為階躍函數
的Lebesgue-Stieltjes测度，即
計數測度
記 恰是整數集N上的計數測度。