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| 連通性 |
連通性是『點集拓撲學』中的基本概念，把『連通性』定義如下：對於拓撲空間X，（1）若X中除了空集和X本身外，沒有別的既開又閉的子集，則稱此『拓撲空間X是連通的』。（2）若E作為X的子空間，E在誘導拓撲下是可連通的，則稱拓撲空間X的子集E，是連通的。由此，能夠等價描述E的內涵有下面3點：1） 若X不能表示為兩個非空不交的開集的並，則，拓撲空間X是連通的。2）若當X分成兩個非空子集A、B時，並且滿足A∪B時，有A交B的閉包非空，或B交A的閉包非空，則稱拓撲空間X是連通的。3）若X中既開又閉的子集只有X與空集，則稱，拓撲空間X是連通的。
簡介
（1）實數集的子集是連通的，當且僅當它是一個區間；（2）連通性由同胚保持，從而是空間的拓撲性質；（3）設Ω是X的一族子集，它們的並是整個空間X，每個Ω中的個體連通，且兩兩不分離（即任意兩個集合的閉包有非空交），則稱為『X連通』；（4）若X、Y連通，則乘積空間X×Y連通。定義1：設X是一個拓撲空間。如果X中有兩個非空的隔離子集A和B，使得X= A∪ B，則稱X是一個不連通空間；否則，則稱X是一個連通空間。局部連通的拓撲空間也不必是連通的。例如，每一個離散空間都是局部連通空間，但包含着多於一個點的離散空間卻不是連通空間。又例如，n維歐氏空間 的任何一個開子空間都是局部連通的(這是因為每一個球形鄰域都同胚於整個歐氏空間，因而是連通的)，特別地，歐氏空間本身是局部連通的。另一方面，歐氏空間中由兩個無交的非空開集的並作為子空間就一定不是連通的。
評價
此外根據定義立即可見：拓撲空間X在點x X處是局部連通的當且僅當x的所有連通鄰域構成點二處的一個鄰域基。定義3：設X是一個拓撲空間，如果對於任何x, y，存在着X中的一條從x到y的道路(或曲線)，我們則稱X是一個道路連通空間。X中的一個子集Y稱為X中的一個道路連通子集，如果它作為X的子空間是一個道路連通空間。實數空間R是道路連通的，這是因為如果x, y R，則連續映射f： [0,1] R定義為對於任何t [0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點以y為終點的道路。也容易驗證任何一個區間都是道路連通的假設有個整數對，p-q解釋為p與q連通。如圖1所示。如果新輸入的對，可以由以前的輸入對連通，就不會輸出；如果不能由以前的對連通，就輸出這個對。例如2-9不在輸出之列，因為前面的對存在2-3-4-9的連通。[1]